Dİziler Prizma
 

Bu bölümde reel değişkenli fonksiyonların limitlerinin hesabında yararlanacağımız reel sayı dizilerini inceleyeceğiz.

A. DİZİ

N+ = {1,2,3,...} olmak üzere f: N+ R şeklinde tanımlanan her fonksiyona reel sayı dizisi denir.

f fonksiyonunun tanım kümesi N+ olduğuna göre, değer kümesinin elemanları f(1), f(2), f(3), ..., f(n), ... dir.

Değer kümesinin elemanları f(1) = a1, f(2) =a2, f(3) =a3, ..., f(n) =an, ... şeklinde gösterilir. Dizinin 1. terimi, 2. terimi, 3. terimi, ..., n. terimi, ... adı verilir. Dizinin 1. terimine ilk terim, n. terimine de genel terim denir. a1, a2, a3, ..., an, ... terimlerinden oluşan dizi (a1, a2, a3, ..., an, ...) şeklinde gösterilir. Bu dizi kısaca (an) şeklinde gösterilir. Buna göre, (an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...) dir.

Bir dizi genel terimi ile belirlidir. Yani, dizinin genel terimi dışında bir kısım teriminin verilmesi diziyi belirtmek için yeterli olmaz.

ÖRNEK

f(n) = an = (2n+1)/n dizisini inceleyelim.

a1 = (2.1+1)/1 = 3 ilk terim ; a2 = (2.2+1)/2 = 5/2 İkinci terim ; a3=(2.3+1)/3 =7/3 Üçüncü terim. an=(2n+1)/n n. terim. Buna göre, (an)=(2n+1)/n=3,5/2,7/3,....(2n+1)/n,...)?dir. Dizinin terimlerini Venn şemasıyla gösterelim.

Dizinin terimlerini sayı ekseninde gösterelim.

(an) = (2n+1)/n dizisinin terimlerinin, (2n+1)/n = 2+1/n olduğu için 3?ten başlayarak azalan değerler aldığına ve giderek 2 ye yallaştığına dikkat ediniz. Kısaca  n  N+ için 2 < an  3 olduğuna dikkat ediniz.

B. EŞİT DİZİLER

 n  N+ için, an = bn ise (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir ve (an) = (bn) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:

(an) = (n2) ve (bn) = [1+3+5+...+(2n ? 1)] dizileri eşitmidir?

 n  N+ için 1+3+5+...+(2n ? 1) = n2 dir. Yani bütün sayma sayıları için an = bn dir. Bunun için (an) = (bn) dir.

C. SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

ÖRNEK

(an) = (c) , (bn) = 5 , (cn) = (sin n) dizileri birer sabit dizidir. Çünkü, (an) = (c, c, c, ..., c,...)

(bn) = (5,5,5,...,...)

(cn) =...