İspat Çözümü...
 

İSPAT TEKNİKLERİ ::. Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara dayanır. Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir. Bu sebeple Matematikçe sitemin bu bölümünü ispat tekniklerine ayırmak istedim. Çeşitli ders notlarımdan ve kitaplardan derlediğim bu çalışmayı lise düzeyinde bilgiye sahip bir öğrencinin anlayabileceği seviyeye getirerek, üniversite hayatına yeni atılacak olan gençlerin de bu heyecanı yaşamasını hedefledim. İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz: 1. Doğrudan İspat 2. Ters Durum İspatı 3. Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi 4. Tümevarım ile ispat Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim. .:: 1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik genel olarak; P -- Q (P ise Q) Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun) doğruluğu elde edilir. Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir. İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belirildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m tek ve n de çift olduğundan; m = 2a + 1 n = 2b olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu. m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek; m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur. Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır. Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir. İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul edelim. O zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız. 2 katını alırsak; 2a = 2.6k = 12k olur. Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz. O zaman; 2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur. k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır. Dolayısıyla buna m gibi bir tamsayı dersek; 2a = 4.(3k) = 4m olur. Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir. Böylece ispat tamamlanır. Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz. Bu ispat tekniği kolay olmasın..