Modüler Aritmatik...
 

MODÜLER ARİTMETİK


x,y є Z ve m є Z+ - { 1 } olmak üzere, x ? y farkı m nin tam katı ise,

x ≡ y ( mod m )

dir.


Örnek :


( x ? y ) farkı, 3 ün katı olan ( x, y ) ikililerini inceleyelim. Bunlardan bazıları,

( - 9, - 9 ), ( -7, -7 ), ( 0, 0 ) ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ?

( - 10, 2 ), ( - 7, 1 ), ( 3, 0 ), ( 9, 0 ), ( 1, 100 ), ( 56, 2 ), ? dir.

Buradan;

( 6, 0 ) için, 6 ≡ 0 ( mod 3 ),

( - 10, 2 ) için, - 10 ≡ 2 ( mod 3 ),

( 100, 1 ) için, 100 ≡ 1 ( mod 3 ) tür.


Kolayca görüleceği gibi ( mod 3 ) e göre 0 a denk olan ( 3 e bölümünden kalan 0 olan ) pek çok sayı vardır. Bu sayıların oluşturduğu kümeye 0 ın denklik ( kalan ) sınıfı denir ve sembolüyle gösterilir.

= { ? , - 9, - 6, - 3, ō, 3, 6, 9, ? } dur.


Benzer şekilde,

= { ? , - 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, ? },

= { ? , - 7, - 4, - 1, 2,5, 8, ? }

biçiminde ve kümeleri yazılabilir.

Z de 3 modülüne göre kalan sınıflarının kümesi,

Z / 3 = { , , },

Z de 5 modülüne göre kalan sınıflarının kümesi,

Z / 5 = { , , , , } tür.



Buradan, m modülüne göre kalan sınıflarının kümesi de,

Z / m = { , , , , ? , } olur.



Örnek :


26 ≡ 2 ( mod m )


olduğuna göre, m nin alabileceği değerleri bulalım.

Çözüm :


26 ≡ 2 ( mod m ) 24 ≡ ō ( mod m )

olduğundan, m nin alabileceği değerler 24 ün 1 den büyük pozitif bölenlerinin sayısı kadardır.

O halde, m nin alabileceği değerler ;

2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 tür.

Diğer bir ifadeyle, m nin alabileceği değerlerin sayısı, m > 1 olduğundan,

24 = 23 . 31 ( 3 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 = 8

olduğundan, 8 ? 1 = 7 tanedir.


Örnek :


2 ? x ≡ 3 ( mod 7 )


olduğuna göre, x in alabileceği en büyük negatif tamsayı ile en küçük pozitif tamsayının toplamını bulalım.


Çözüm :


2 ? x ≡ 3 ( mod 7 ) 2 ? 3 ≡ x ( mod 7 )

- 1 ≡ x ( mod 7 )

6 ≡ x ( mod 7 ) dir.


O halde, x in alabileceği değerler,

? , - 15, - 8, - 1, 6, 13, 20, ? dir.

Buradan, istenilen sonuç ; - 1 + 6 = 5 tir.


Örnek :


Bir askeri birlikte 5 günde bir nöbet tutan bir asker, ilk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 11. nöbetini hangi gün tutacağını bulalım.


Çözüm :


5 günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 11. nöbeti için 10 nöbet kalmıştır. Asker 11. nöbetini, 5 . 10 = 50 gün sonra tutacaktır.


50 ≡ 1 ( mod 7 ) olduğundan, asker ilk nöbetini Salı günü tuttuğu için 11. nöbetini Salı?dan bir gün sonra yani Çarşamba günü tutacaktır.


Kural :

Z / m de x, y, u, v є Z olmak üzere,

x ≡ y ( mod m ), u ≡ v ( mod m ) ise

1) x + u ≡ y + v ( mod m )

2) x ? u ≡ y ̵... -