Karekök
 

Bir sayının karekökü, bu sayıyı veren iki eşit çarpandan biridir. Şöyle de söyleyebiliriz: Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpımı yani karesi, karekökü aranan sayıya eşit olan sayıdır. Bir sayının karesini almak, o sayıyı kendisiyle çarpmak demektir; karekök almak ise, bu işlemin tersidir. Örneğin 7 sayısı, 49'un kareköküdür; çünkü 7x7=49'dur. Aritmetik simgeleriyle 7'nin 49'un karekökü olduğu 7=V49 ya da V49 =7 biçiminde; 7'nin karesinin' 49 olduğu da 7üssü2=49 biçiminde gösterilir. Karekök genellikle r harfiyle belirtilir. Bu, "kök" anlamında Latince radix sözcüğünün baş harfinden gelir.

Herhangi bir karenin bir kenarının uzunluğu, her zaman, karenin alanının kareköküne eşittir. Buradan da anlaşılabileceği gibi kareköklerden, alan problemlerinde yararlanılır. Ayrıca Pisagor teoreminde, dik üçgenlerin kenar uzunluklarının hesaplanmasında da karekök kullanılır; buna göre bir dik üçgende, en uzun kenarın karesi öteki iki kenarın karelerinin toplamına eşittir

Karekök bulma
 

Karekök bulma

Matematikte negatif olmayan bir gerçel x sayısının temel karekök bulma işlemi √x şeklinde gösterilir ve karesi (bir sayının kendisiyle çarpılmasının sonucu) x olan negatif olmayan bir gerçel sayıyı ifade eder. Örneğin √9 = 3'tür çünkü 3 x 3 = 9'dur.

Bu örneğin de ileri sürdüğü gibi karekök bulma, ikinci dereceden denklemlerin çözümünde
(ax^2 + bx + c = 0) kullanılabilir.

Karekök almanın sounucunda iki çözüm vardır. Negatif olmayan sayılar için bunlar temel kare kök ve negatif kare köktür. Negatif sayıların kare köklerini tanımlamak için ise sanal sayı ve karmaşık sayılar kavramları geliştirilmiştir.

Pozitif tam sayıların kare kökleri genel olarak irrasyonel sayılardır (iki tam sayının kesiri olarak ifade edilemeyen sayılardır). Örneğin √2, tam olarak m/n (m ve n tam sayı olacak şekilde) şeklinde yazılamaz. Buna karşın bu sayı kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğuna eşittir.

√2'nin irrasyonel olduğunun bulunması Pythagoras'ın bir takipçisi olan Hippasus'a atfedilir. Bu konuyla ilgili şöyle bir rivayet anlatılır; Sayılara mutlak bir inançla bağlı olan Pisagor'un takipçilerinden birisi olan Metanpontumlu Hippasus, dik kenarları 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlamış. Bunu kabullenemeyen Pisagor, Hippasus'un kanıtlarının aksini de gösteremeyince, açık denizde Hippasus'u bir tekneden suya attırmış.

Kare kök sembolü (√) ilk olarak 16. yüz yılda kullanılmaya başlandı. Latince kök demek olan radix kelimesinin baş harfinden, yani küçük r harfinden türetildiği söylenir. Ayrıca karekökte kök üç ile kök üçün çarpımı üçe eşittir. 1'den 10'a kadar olan doğal sayıların 2 kere yazıldıktan sonra (1010 veya 55) bu sayılar tekse karekökleri de tek sayı olur bu sayılar çift ise karekökleri de çift bir sayıdır.