Sayı Sistemleri Hakkında Bilgi.
 

SAYI SİSTEMLERİ

Sayı sistemleri,niceliklerin ifade edilmesinde kullanılan simgeler ile bunların kullanımına ilişkin kurallardan oluşan sistemler.Sayıların ifade edilmesinde kullanılan en ilkel sistem."çentik atma" olarak da bilinen birli sistemdir;Bu sistemde ,sayılan cisimlerin her birine karşılık bir çentik ya da çizgi atılır.sonraki dönemlerde bu çizgilerin beşer beşer ( ya da daha çoklu gruplar halinde) kümelenerek kullanılmış olduğu anlaşılmaktadır.

Günümüzde kullanılan onlu (10 tabanlı) sistemin kökleri eski Mısır,Babil (Sümer) ve Çin'e uzanır.Onlu sistemi geliştirenler İS 8-11.yüzyıllar arasında yaşamış Hintli ve Arap matematikçilerdir.Onlu sisteme ilişkin modern gösterilimin başlangıcını ise Pizalı Leonardo'nun ( Fibonacci) İS 1202'de yayımladığı Liber Abaci ( Abaküs Kitabı ) adlı kitabı oluşturmuştur.

Eski Mısırlılar 10 tabanlı bir sistem kullanıyorlardı.Bu sistemde 10'un ve onun altıya kadarki kuvvetleri için farklı simgeler vardı,ama basamaklar belirtilemiyordu.sıfır simgesi de yoktu.Eski Çinli'ler ,Giritliler,Yunanlılar,İbraniler ve Romalılarda da benzer sistemler kullanılmıştır.Babilliler ise eksik bir 60 tabanlı sistem kullanıyorlardı;bu sistemde 60 farklı simge yerine yalnızca iki simge kullanılıyor,bu nedenle de bir sayının değeri,çoğu kez,ancak bağlamı göz önüne alınarak doğru biçimde anlaşılabiliyordu.

Mayalar 20 tabanlı sayı sistemi kullanıyorlardı.ama 360 günlük takvimle uyum sağlayabilmek için basamak değerleri olarak

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1383825665

Mısır sayı sistemlerinde sıfır simgesi zaman zaman kullanılıyordu,ama bu simge yalnızca sayılar arasındaki boş bir basamağı belirtmeye yarıyor.hiçbir zaman sayıların sonuna getirilmiyordu.Eski Çinlilerde önceleri sıfır simgesi yoktu ,ama Çinlilerin buluşu olan abaküsün incelenmesi,basamaklı gösterilim ve sıfır kavramlarının Çinlilerce,dolaylı olarakda olsa,bilinmekte olduğunu göstermektedir.Mayalar sıfır simgesini kullanıyorlardı,ama Çinlilerin buluşu olan abaküsün incelenmesi,basamaklı gösterilim ve sıfır kavramlarının,Çinlilerce,dolaylı olarak da olsa,bilinmekte olduğunu göstermektedir.Mayalar sıfır simgesini kullanıyorlardı ama,Maya sayı sisteminin basamak değerlerine ilişkin tutarsızlığı bu simgenin hesaplamalarda yararlı bir işlev görmesini olanaksızlaştırıyordu.Sıfır simgesini basamak belirleyici olarak da ilk kullanan bilgin,büyük olasılıkla ,Muhammed bin Musa el-Harizmi'dir.( y.780-y.850) . Sıfır simgesinin ve Arap ( gubari) rakamlarının Avrupa'da yaygınlaşması 10.yüzyılda Gerbert'in (sonradan papa II.Sylvester ) çabalarıyla gerçekleşmiştir.

Giderek daha ayrıntılı ölçümlerin ve daha karmaşık hesapların gerekli duruma gelmesi modern sayı sistemlerinin oluşmasında önemli rol oynamış,böylece basamaklı sistem,sıfır simgesi ve sayının 1'den büyük ve 1'den küçük kesimlerini birbirinden ayırmaya yarayan virgül ( ya da nokta) kullanımı yaygınlaşmıştır.

Basamaklı sayı sistemi ,sıfır simgesi ve virgül kullanımı yaygınlaşmadan önce,çarpma,bölme,kök alma gibi işlemlerin yapılması ancak çok az sayıda uzmanın içinden çıkabildiği konulardı.1100'lü yıllara gelindiğinde algoristler ( Harizmi'nin adından gelen bu sözcük 10 tabanlı sayıları kullanarak hesap yapanlar anlamında kullanılıyordu.).hesaplama hızı ve doğruluğu açısından abaküsçülere üstünlük sağlamaya başlamışlardı.bu yöntem,ayrıca,hesaplar ve sonuçların kağıt üzerinde kalıcı bir biçimde saklanmasını da sağlıyordu.Bu öğeleri içeren bir sayı sisteminin gelişmesi ve yaygınlaşması ,özellikle astronomi,denizcilik ve imalat gibi alanlarda gerekli hesapların kolaylıkla ve doğru biçimde yapılmasını olanaklı kılıyordu.Sonraları geliştirilecek olan daha etkin veri işleme yöntemleri de (örn.logaritma,sürgülü hesap cetveli,mekanik ve elektrikli hesap makineleri,bilgisayarlar) sayı sistemlerindeki gelişmelerin bir sonucudur.

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1383827206

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1383827701

alta yazılarak toplama ve çıkarma işlemleri uygulanabilir.
4-) sayıları göstermek için gerekli simgelerin sayısı b'ye eşittir (örn.6 basamaklı sistemde altı simgeye gereksinim vardır: 0,1,2,3,4,5,ve 6).

5-) bu simgeler o ile başlar ve tabandan bir eksik değri gösteren simge ile biter; 0,1,2,,,,,,,,b-1 ,

6-) taban için ayrı bir simge yoktur....

"10" sayısı her taban için tabanın değerini gösterir.(örn."10" sayısı iki tabanlı sistemde 2'ye ,12 tabanlı sistemde 12'ye eşittir.).

7-) sayının değeri,her katsayı bulunduğu basamağa ilişkin üslü taban değeri ile çarpılıp bu çarpımlar toplanarak bulunur.

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1383827908

Bu ve buna benzer örneklerden şu iki özelliği de görmek olanaklıdır.

1-) Rasyonel (iki tamsayının oranları olarak ifade edilebilen ) sayılar hangi tabanda ( taban,tamsayı olmak koşuluyla ) yazılırsa yazılsın rasyonel kalırlar.

2-) rasyonel bir sayı,ya sonlu sayıda kesir basamağı içerir ya da kesir bölümünde sürekli yinelen bir basamak grubu vardır.

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 216-217 frmsinsi.net için derlenmiştir.

Cevap : Sayı Sistemleri Hakkında Bilgi.
 

Basamaklı sayı sistemlerine ilişkin ilk genel incelemeyi Thomas Harriot (1560-1621) gerçekleştirdi.ama Harriot bu çalışmasını yayımlamamış olduğundan bu konuda önceliğin Gottfried Leibniz'de (1646-1716) olduğu kabul edilir.Leibniz 2 tabanlı sistemin ateşli bir savunucusu idi.ona göre 1 Tanrı'yı ,o ise yokluğu temsil ediyordu.

2 tabanlı (ikili) sayı sistemi sayısal bilgisayarlarda kullanılır.Sayıların gösterilmesinde kullanılabilecek en küçük taban değeri 2'dir.2 tabanlı sistem,örneğin,10 tabanlı sistemde kullanılan 10 değişik simge yerine,yalnızca iki simge ( O ve 1 ) kullanıldığı için daha yalın bir sistemdir.ama bu sistemde yazılan sayılar daha çok basamak içerir.örneğin,10 sayısı ikili sistemde 1010 olarak,1.866 sayısı ise,11101001010 olarak yazılır.Bilgisayarlar hızlı çalıştığı ve büyük belleklere sahip olduğu için bu özellik önemli bir sakınca oluşturmaz.

Onikili (12 tabanlı) sayı sisteminde 10 ve 11 için birer yeni simge gereklidir.günlük yaşamdaki düzine (12) ve grosa (122)) terimleri ile ile saat kadranlarının 12 saate bölünmesi,bir zamanlar bu sistemin kullanılmış olmasından kaynaklanır.12'nin bölenlerinin ( 2,3,4,6,12)10'un bölenlerine (2,5,10,) göre daha çok sayıda olması nedeniyle günlük yaşamda onikili sistemin kullanılması önerilmiş ,ama onlu sistemden vazgeçilmemiştir.

Sayılar çeşitli özelliklerine göre sınıflandırılabilirler.En yalın sayı kümesi,sayma sayıları olarak adlandırılan 1,2,3,,,,sayılarını içerir.bu sayılara 0 sayısı eklenerek doğal sayılar elde edilir.Negatif sayılar ancak 17.yüzyıldan sonra yaygın olarak kullanılmaya başlamıştır.En eski çağlardan beri bilinen rasyonel sayılar,iki tamsayının oranı olarak ifade edilebilen sayılardır.Rasyonel sayılar,onlu gösterilimde ya sonlu sayıda kesir basamağı içeri ya da kesir bölümlerinde sürekli yinelenen bir basamak grubu yer alır.



http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1383829229

sanal bileşenler içeren sayılar karmaşık sayı olarak adlandırılır.Karmaşık sayılar a+bi biçiminde gösterilir.burada a karmaşık sayının gerçek kısmı,bi ise sanal kısmıdır.Bu nedenle ,b= 0 durumunda ortaya çıkan gerçek sayılar ve a=0 durumunda ortaya çıkan sanal sayılar,karmaşık sayılar kümesinin alt kümeleri olarak düşünülebilir.Salt gerçek ya da salt sanal bir sayının büyüklüğü ve işareti ,bu sayıyı bir doğru üzerinde alınan bir noktayla temsil ederek ve bu noktanın doğru üzerindeki bir başlangıç noktasına ( artı ya da eksi yönde) uzaklığı belirlenerek gösterilebilir.Karmaşık sayıların gösterimi ise iki boyut gerektirir; bir karmaşık sayı düzlemde bir noktayla ya da düzlemde başlangıç noktası olarak alınan bir noktayı bu noktaya birleştiren doğru parçasıyla ( vektör) gösterilir.Karmaşık sayıların iki boyutlu düzlemde gösterilimini Norveçli matematikçi Jean Argand ,birbirlerinden bağımsız olarak 1800 dolaylarında ortaya koymuşlardır.

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 216-217 frmsinsi.net için derlenmiştir.