Pascal Üçgeni - Pascal Üçgeni Temel Bilgiler - Pascal Üçgeni Çözümlü Örnekli Anlatım
 

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.

Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0............................................ ...............1

s(A)=1............................................ ............1.....1

s(A)=2............................................ .......1.....2.....1

s(A)=3............................................ ..1.....3.....3.....1

s(A)=4..........................................1. ....4.....6.....4.....1

s(A)=5......................................1..... 5.....10....10.....5....1 ...

Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.

Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1

s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1

Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.

A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.

0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane

1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane

2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane

3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.

Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın

satırındaki üçüncü sayı)

*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:

3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)

4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)

*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:

1.YOL: (21+35+21+7+1)=120

2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

Binom Açılımı:

(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.

(a+b)5=?

Katsayılar 1 5 10 10 5 1

A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1

B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

*(5x-3y)2=?

Katsayılar 1 2 1

5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1

-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2

(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.