Matematikte Grup (Öbek) Nedir?
 

Genellikle grup olarak bilinen bu matematiksel yapı, soyut cebirin en temel yapısıdır. Öbek, öncelikle bir kümedir, öğeleri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir ikili işlemi olan bir kümedir. Öbek kuramı, bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

En yalın matematik sistemlerden biridir. Üzerinde * gibi bir işlem tanımlanmış bir A kümesi bu işleme göre kapalı ise ve işlemin birleşme özelliği var ve A kümesi, birim eleman ile her bir elemanın tersini içeriyorsa, bir gruptur. Örneğin A kümesi {1, i, -1, -i} ve * işlemi de karmaşık sayılardaki çarpma işlemiyse (A,.) sistemi bir gruptur. Çünkü, sözgelimi -i.i = -i2 = 1 olup A'da elemandır; -i.(1.i) = (-i.1).i = -i.1.i = 1 olup * işleminin birleşme özelliği vardır ve birim eleman olarak 1 var olup i'nin tersi -i (gerçekten -i.i = 1'dir), -1'in tersi 1, -i'nin tersi i'dir.

Tanım

Eğer boşkümeden farklı ve üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir G kümesi

• Bileşme: Her a, b, c . G için a(bc)=(ab)c.

belitini sağlıyorsa bir yarı öbektir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,

• (iki yönlü) Birim öğe: Her a . G için öyle bir e . G vardır ki ea=ae=a.

belitini sağlıyorsa bu kümeye birlik (monoid) denir. Eğer bir birlik,

• Tersinir öğe: Her a . G için öyle bir . G için ab=ba.

belitini sağlıyorsa değişmeli öbek (değişmeli grup) ya da Abel'in anısına Abelyen öbek (abelyen grup) olarak adlandırılır. İşlemi vurgulamak için (G, ) gösterimi kullanılır (ki burada "" işlemin simgesidir).
Öbek kuramı (grup kuramı), demin tanımladığımız öbek (grup) yapısıyla ilgilenir. Ödeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
Bir öbeğin mertebesi |G| ile gösterilen kardinal sayıdır (yani kümenin öğe sayısıdır). |G| sonluysa (ya da sonsuzsa), G ye sonlu öbek (ya da sonsuz öbek) denir.

Bazı Öbek Örnekleri

• Toplama işlemiyle tam sayılar kümesi (Z, + ), değişmeli bir öbektir.
• Çarpma