ForumSinsi - 2006 Yılından Beri - Doğal Sayılar Ve Tanımlar

Peano Belitleri tanımı

Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır. Modern tanımlar bu tanımı sağlar.

Sıfır bir doğal sayıdır.
Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır.
Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur.
Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir.
Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir.

Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin "Bir, bir doğal sayıdır." olarak kabul eder.

ZFC tanımı

Zermelo-Freankel küme kuramı doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, , n{n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.

Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,

0={}
1={0}
2={0,1}
3={0,1,2}
...
n+1={0,1,...,n}

Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır.

Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:0 DOĞAL SAYIDIR

(sıfır, hiç öğesi olmayan tüm kümelerin kümesi)
(n nin ardılı, öğe sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)

Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.