Olasılık Kuramında Bağımsızlık (Mutlak Bağımsız) Nedir?

Olasılık kuramında iki olayın bağımsız olması bu olaylardan birinin gerçekleşme olasılığının diğer olayın gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı olmaması anlamına gelmektedir Örneğin;

• Bir zarın ilk atışta 6 gelmesi olayı ile ikinci atışta 6 gelmesi olayı bağımsızdır
• Öte yandan, bir zarın ilk atışta 6 gelmesi olayı ilk iki atış sonunda elde edilen sayılar toplamının 8 olması olayına bağlıdır
• Bir kart destesinden seçilen ilk kartın kırmızı olması olayı ile ikinci kartın aynı renkte olması olayı bağımsızdır (kart seçimi yapıldıktan sonra deste ilk haline getiriliyorsa) Ne var ki, seçilen kartın desteye geri konulmaması durumunda bu iki olay bağımlıdır

Benzer biçimde, iki rassal değişkenin bağımsız oluşu bu değişkenlerden birinin değerinin diğerinden önce gözlenmemiş oluşuna bağlıdır Bağımsızlık kavramı ikiden fazla olay ya da rassal değişken barındıran durumlara da uygulanabilmektedir
"Bağımsız" terimi zaman zaman "istatistiksel olarak bağımsız", "sınırdan bağımsız" ya da "mutlak bağımsız" olarak da kullanılmaktadır

Bağımsız olaylar
Bağımsızlık şu biçimde tanımlanabilir:
A ve B olayları ancak ve ancak
Pr(A ∩ B) = Pr(A)Pr(B)

koşulu sağlanıyorsa bağımsızdırlar Burada A ∩ B, A ve B'nin kesişimini (A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durumu) göstermektedir
Daha genel anlamda, bir olay dizisi bu dizinin herhangi bir sonlu altkümesinin389452f792943da942b14df97f42e569png

koşulunu sağlaması durumunda karşılıklı bağımsızdır Bu olgu bağımsız olaylar için çarpım kuralı olarak adlandırılmaktadır
A ve B olayları bağımsız ise, B olayının gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı bu olayın koşulsuz olasılığına eşittire02445ce55d4f57a48ed394d1df8ac5bpng

Tüm bunlara karşın, bu ifadelerin bağımsızlık kavramının tam tanımını oluşturduğu söylenemez Bunun nedeni, ifadede yer alan A ve B olaylarının yerlerinin değiştirilemeyecek oluşu ve bu tanımın olasılığın 0 olduğu durumlarda geçersiz kalmasıdır
B'nin gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı2bdfc17d0fd10e327f1d69bd65d0f2d9png

(Pr(B) ≠ 0 olduğu sürece) biçiminde tanımlanmaktadır
6669d1b65ae4b3060dc4781e3c8b7110png

iken bu ifade
a248fa77633a873a720ec753ccde49b9png

olarak da yazılabilir
Burada sözü edilen bağımsızlık kavramı konuşma dilindeki karşılığından farklı bir anlam taşımaktadır Örneğin, bir olayın kendinden bağımsız olması ancak ve ancakd7326b2d9dc547ad9675f3efc2283bafpng

koşulunun sağlanması durumunda gerçekleşebilir Başka bir deyişle, bir olay ya da onun tümleyeni neredeyse kesin olarak gerçekleşiyorsa bu olay kendinden bağımsızdır

Bağımsız rassal değişkenler
X gerçel değerli bir rassal değişken ve a bir sayı olmak üzere, {X ≤ a} olayı X'in a'dan küçük ya da ona eşit olduğu gözlemlerin oluşturduğu küme olarak tanımlanmaktadır
X ve Y rassal değişkenleri ancak ve ancak {X ≤ a} ve {Y ≤ b} olaylarının bağımsız olması durumunda bağımsızdırlar Benzer biçimde, rastgele seçilmiş değişkenlerin oluşturduğu bir kümenin bağımsız oluşu herhangi bir sonlu X1, ?, Xn yığını ve a1, ?, an sayı dizisi için {X1 ≤ a1}, ?, {Xn ≤ an} olaylarının bağımsız olmasına bağlıdır
Bir yığından seçilen herhangi iki rassal değişken bağımsız ise bu değişkenlerin karşılıklı bağımsızlıkları da güvence altındadır Bu olgu parçalı bağımsızlık olarak adlandırılmaktadır
X ve Y bağımsız ise, E beklenti işleciE[X Y] = E[X] E[Y]

koşulunu sağlar Varyans için
var(X + Y) = var(X) + var(Y)

eşitliği yazılabilirken kovaryans cov(X,Y) sıfıra eşittir Bu ifadenin tersi ("iki rassal değişkenin kovaryansı 0 ise bu değişkenler bağımsızdırlar" önermesi) doğru değildir
Bunlara ek olarak, iki tane X ve Y rassal değişkeni, FX(x) ve FY(y) dağılım fonksiyonları ve fX(x) ve fY(y) olasılık yoğunlukları gösteriyorlarsa, bu iki rassal değişkenin birbirinden bağımsız olmaları için, bileşik rassal değişken (X,Y) nin şu ortak dağılımı olması gerekir:FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y)

ya da buna eşit olarak
fX,Y(x,y) = fX(x)fY(y)

ortak yoğunluk göstermelidir
İki rassal değişkenden daha fazla sayıda rassal değişkenler olma halinde bağımsızlık da daha genel olarak buna benzer ifadeler ile karakterize edilirler

Koşullu bağımsız rassal değişkenler
Sezgi ile ele alınırsa, iki rassal değişken X ve Y nin birbirinden koşullu bağımsız olmaları için, bir Z verilirse ve eğer Z değeri bilinirse, Y değerini bilmenin X hakkında bilgimize hiçbirsey eklememesi gerekir Örnegin, altlarından Z miktarına bağlılıkları olduğu kabul edilen, X ve Y değişkeni ölçümleri birbirinden bağımsız değildir; ama (iki olçümdeki yapılan hatalar herhangi bir şekilde birbirine ilişkili değilse) 'bu iki değişken, verilmiş bir Z şartına bağlı koşutlu değişkenlerdir' Koşullu bağımsızlık kavramının daha formel bir tanımlaması koşullu dağılım kavramına dayandırılır Eğer X, Y ve Z ayrık rassal değişken iseler, o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur:
Her x, y ve z için P(Z ≤ z) > 0 olursa
d7cfb9b9516a4aa7486c9688faaa190bpng

Diğer taraftan, eğer X, Y ve Z sürekli rassal değişken iseler ve p ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmakta ise; o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsızolmaları için şart şudur:
Her x, y ve z gerçel sayılar için pZ(z) > 0 olursa
ffe73df8eec2f71710f711c91b8cf8d7png

Bu demektir ki Y ve Z verilirse X için koşullu dağılım, sadece Z için dağılımın aynıdır Sürekli halde de koşutlu olasılık yoğunluk fonksiyonları için de bir benzer denklem verilebilir
Olasılık bir çeşit hiç verilmiş olay olmayan koşutlu olasılık olduğu için, bağımsızlık koşutlu bağımsızlığın özel bir hali olarak görülebilir