Olasılık Teorisi Nedir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir

Bu düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır

Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır

??0?? olanaksızı ??1?? ise kesini simgeler

Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte hesaplanabilir

Bu büyük ölçüde ilgilenilen olayın niteliğine ve dolayısıyla baş vuracağımız olasılık tanımına bağlı olacaktır

Olasılığın 3 temel tanımını görmeden önce, bu tanımlarda ortak kullanılan temel kavramları ele alalım

TEMEL KAVRAMLAR

Rastlantısal Deney ve Rastlantısal Deneme

Raslantısal deney ya da kısaca deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin gözlem yapma ya da veri toplama süreci olarak tanımlanabilir

Örneğin hilesiz bir para 3 kez atılırsa kaç kez tura geleceğini, bir fabrikada üretilen makine parçalarının defoluluk yüzdesini tahmin etmek amacıyla çekilecek 40 adet makine parçasının kaç tanesinin defolu olacağını önceden bilemeyiz

Öyleyse madeni para 3 kez atılıp, kaç kez tura geldiği sayıldığında ya da 40 adet makine parçası kontrol edildiğinde birer rastlantısal deney yapılmış olur

Raslantısal deney raslantısal denemelerden oluşur

Paranın 3 kez atılması rastlantısal deney ise, her bir atış bir raslantısal denemedir

Rastlantısal deney 40 adet makine parçasının incelenmesi ise, her parçanın kontrolü bir rastlantısal denemedir

Süphesiz rastlantısal deney tek bir denemeden oluşuyorsa deney ? deneme kavramları denk olur

Sonuç:

Her bir denemede elde edilen durum denemenin sonucu olarak adlandırılır

Örneğin para ikinci atışta tura gelmişse ya da kontrol edilen 17

Parça defolu ise bu durumda para atışı deneyinin 2

Denemesinde sonucu ??Tura??, parçaların kontrolü deneyinin 17

Denemesinin sonucu ??Defolu?? olarak gerçekleşmiş denilecektir

Örnek Uzay:

Bir rastlantısal deneyde gerçekleşebilecek tüm mümkün farklı sonuçların oluşturduğu küme örnek uzay olarak adlandırılır

Örneğin rastlantısal deney hilesiz bir zarın bir kez atılması ise, deney 6 farklı biçimde sonuçlanabileceği için örnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacaktır

Zar iki kez atılıyorsa, bu deney 36 farklı şekilde sonuçlanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) ,

, (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) }

Rastlantısal deney bir makine parçasının kontrolü ise, iki farklı sonuç mümkündür; parça defoludur ya da değildir

Öyleyse örnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacaktır

Örnek uzay kesikli veya sürekli olabilir

S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,

} gibi sayılabilir sonsuz değerlerden oluşan örnek uzaylar kesikli olarak nitelendirilirken, bir doğru parçası üzerindeki ya da bir düzlem içindeki noktalar gibi sayılamayan sonsuz sayıda elemandan oluşan, dolayısıyla tek tek değerler yerine S= { X| a< x < b } gibi bir aralıkta ifade edilen örnek uzaylar ise sürekli olarak düşünülecektir

Örnek uzayın kesikli ya da sürekli oluşu rastlantısal deneyi belirleyen değişkene ve bazen de bizim ölçme ya da kriterimize bağlıdır

Örneğin dayanma süresini test etmek amacıyla, bir ampulün teli yanana kadar açık bırakıldığını düşünelim

Ampulün teli hemen yanabileceği gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir

Öte yandan zaman sürekli bir değişken olduğu için ampulün ömrü bizim ölçme hassaslığımıza (saat, dakika, saniye vs

) bağlı olarak her değeri alabilir

Öyleyse bu deneyin örnek uzayı S= { X | 0 < X < ¥ } olacaktır

Aralık olarak ifade edilen bu örnek uzay süreklidir

Ancak var sayalım ki, pratik nedenlerle ampulün dayanma süresi tam sayı olarak ifade edilmek istensin

Örneğin 2 saat 46 dakika olan bir değer en yakın tam değer olan 3 ile gösterilsin

Bu durumda örnek uzay negatif olmayan tam sayılardan S={0,1,2,3,

,¥} oluşan sayılabilir sonsuz yani kesikli örnek uzay olacaktır

Olay

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir

Örneğin bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı S= {1,2,3,4,5,6}? in alt kümeleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }kümeleri birer olayı gösterebilir

Sözlerle ifade edilirse A1olayı zarın tek gelmesi , A2 olayı zarın çift gelmesi, A3 olayı
ise zarın 3? ten küçük bir sayı gelmesi olabilir

Yukarıda verilen ampul örneğinde ise ampulüm ömrünün 120 saatten az olması B1={x | x<120} ya da 75 ile 1200 saat arasında olması B2={x | x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olması B3={ x|x >250} alt kümeleri birer olayı simgeler

UygulamaHilesiz bir para üç kere atılsın

Örnek uzayı en az tura gelmesi olayının kümesini oluşturduğumuzda

En az 2 tura gelmesi olayını A ile gösterelim

S ve A;

S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacaktır

Olayların çeşitli kombinasyonları da aynı örnek uzayda yeni olayların tanımlanmasını sağlar

Aşağıda bunların temel olanları, Venn şemalarıyla birlikte verilmiştir

A1 ÈA2 : A1? in veya A2? nin veya her ikisininDe gerçekleşmesi olayıdır
A1A2 : A1 ve A2 olaylarının her ikisinin de Gerçekleşme olayıdır
At1: A1? in tümleyeni olarak adlandırılacak Bu olay A1? in gerçekleşmemesi olayıdır
A1 A2 : A1? in gerçekleşmesi ve A2 ? nin Gerçekleşmemesi olayıdır

Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir

Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 = Æ olduğu için ayrıktırlar

Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz

Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır

Uygulama

A, B, C olayları aşağıdaki gibi tanımlansın
A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g}
A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve AB olaylarını yazınız

Çözüm

A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d}
A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} AB= {a, b, c}

OLASILIĞIN TANIMLARI

P ( A ) = 3 ? 3P ( A )

P ( Æ ) = 0

Teorem 3: A1 Ì A2 ise P (A1) £ P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) ? P (A1A2)

3 olayda söz konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) ? P(A1A2) ? P(A1A3) ? P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacaktır

(Boole eşitsizliği)
P(A1 U A2) £ P(A1) + P(A2)teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise n n P
Olasılığın hesaplanmasında ya da tanımlanmasında başlıca üç temel yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz

Bu yaklaşımlarını kısaca ele alalım

KLASİK YAKLAŞIM

S, gerçekleşme şansları eşit (eş olasılıklı) sonuçlarından oluşan bir örnek uzayı ve A ise bu örnek uzayda tanımlı bir olayı göstersin

A olayının gerçekleşme olasılığı P ( A ), bu yaklaşımda

P ( A ) = n( A ) / n ( S )

Olarak tanımlanır

Uygulama Hilesiz bir zar bir kez atılırsa 4? ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm

Zarın hilesiz olduğunun belirtilmesi ile zarın yüzlerinin eşit gerçekleşme şansına sahip olması, dolayısıyla klasik tanıma başvurarak olasılığın hesaplanabileceği anlaşılmalıdır

S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} olduğuna göre
P ( A ) = 2 / 6

Olacaktır

Örnek uzayının sonsuz olduğu durumda payda sonsuz olacağı için klasik tanımın kullanılmayacağı açıktır

Bir diğer zayıf nokta ise örnek uzayı oluşturan tüm mümkün sonuçların eş olasılıklı (eşit sansa sahip) olması gerektiği koşuludur

Bu varsayım aslında rastlantısal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan soyutlamadır

Bu yüzden şans oyunlarına ilişkin olasılık problemlerinde zarın, madeni paranın hilesiz ya da homojen olduğu, iskambil destesinin iyi karıştırıldığı belirtilir

Aslında matematiksel nesneler de fiziksel açıdan soyutlanmıştır

Doğruların kalınlığı düzlemlerin yüksekliği yoktur

Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik olarak tanımlanan çemberler pürüzsüzdür

Oysa bir kağıdın üzerine çizdiğiniz doğru, düzlem ya da çember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar

Kağıdın dokusu, mürekkebin kalınlığı nedeniyle aslında hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur

Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel düşünen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematikçiler (işlerini iyi yapmaları için bu şarttır

) için bu durum sakınca yaratmaz

Klasik tanımda yapılan soyutlama da bu anlamda matematiksel açıdan idealdir ve olasılık hesabına kolaylık sağlar

Ancak olasılık yaşama ilişkindir ve tüm mümkün sonuçların her zaman eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek gerçekçi olmaz

Örneğin yarın yağmur yağma olasılığı ile ilgileniyorsak, örnek uzayın iki elemanı vardır

S={Yağmur yağar,Yağmur yağmaz}; klasik tanıma göre bu iki mümkün durumu eş olasılıklı kabul etmemiz, dolayısıyla her koşulda, her mevsimde yağmur yağma olasılığını ½ olarak vermemiz gerekir

Benzer şekilde kuzey anadolu fay hattında 2005 yılına kadar deprem olma olasılığı ile ilgileniyorsak yine iki mümkün durum vardır: S={Deprem olur, Deprem olmaz}

Hiçbir jeolojik inceleme yapmaksızın, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek şüphesiz gerçekçi olmayacaktır

FREKANS TANIMI

Klasik yaklaşımda rastlantısal deney soyut bir kavramdır

Yani deneyin fiziksel olarak gerçekleştirilmesi gerekmez

Diğer bir deyişle olasılıklar önsel (a priori) verilir

Paranın hilesiz olduğu var sayılır ve tura gelme olasılığı 0,50 olarak hesaplanır

Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir

Para n kez atılırsa ve n ( A ) kez tura gelirse n( A )/n oranını yani tura sayılarının frekans oranını tura gelme olasılığı kabul edebiliriz

Sezginsel olarak para ne kadar çok atılırsa n ( A )/n oranının gerçek olasılığa o kadar çok yaklaşacağını söyleyebiliriz

Öyleyse olasılığın istatistiksel tanımı da denilen bu yaklaşımda, bir A olayının olasılığı

P ( A ) = lim n( A )/ nn®¥

olarak tanımlanabilir

Burada n, rastlantısal deneyin tekrarlanma sayısını, n ( A ) ise, bu denemelerde A olayının gerçekleşme sayısını (frekansını) göstermektedir

Öyleyse bu tanımda olasılıklar klasik tanımın tersine sonsal (a posteiori) verilmektedir

Zar hilesiz olduğu için klasik tanıma göre, herhangi bir yüzün gerçekleşme olasılığı

P ( A ) = 1/6

@ 0,1667

Olacaktır

Doğada ve toplumda bir çok olayın olasılığını hesaplamada, bu olayların geçmişteki tekrar sayılarına (frekansına) başvururuz

Bu yüzden frekans tanımı geniş bir uygulama alanına sahiptir

Örneğin sigorta şirketleri belirli bir yaş grubundaki bir kişini ölme olasılığını hesaplamada daha çok ölüm istatistiğine başvururlar

Çünkü belirli bir yaş grubundaki ölümlerin toplam ölümlere oranı (frekans oranı) yıldan yıla büyük değişiklik göstermez

Geçmiş verilere bakıldığında bu oranın belirli bir değere yakınsadığı ve güvenebileceği anlaşılır

Her ne kadar klasik tanımın kısıtlamaları (sonlu örnek uzayı ve örnek uzayın elemanlarının eş olasılıklı olması varsayımları) bu tanımda yoksa da, frekans oranı tanımının da zayıflıkları vardır

Birincisi, tanımda yer alan sonsuz kavramının pratikte neyi temsil ettiğine, gerçek olasılığa yakınsamanın gerçekleşmesi için kaç denemeye ihtiyaç olduğuna ilişkin kesin bir yanıt vermek olanaksızdır

İkincisi, bir dizi denemede belli bir değere yakınsamanın gerçekleşeceğini varsaysak bile; başka bir dizi denemede aynı değere yakınsamanın gerçekleşeceğine ilişkin teorik bir garanti yoktur

SÜBJEKTİF TANIM

Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir sayıdır

Burada 0 olanaksızlığı, 1 ise kesinliği simgeler

Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25? lik Pazar payı alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul? un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada kullanılabilir

Olasılıklar tayin edilirken objektif veriye ve / veya sübjektif yargıya başvurulur

Örneğin deprem olasılığını hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fayın ne kadar kırıldığını incelemek ve riskli fayın 3 boyutlu görüntüsünü çıkarmak suretiyle gelecek depreme ilişkin sübjektif yargıda bulunabilirler

Bunun yanı sıra geçmişteki düzenli levha hareketlerini, daha önceki tarihte, hangi noktalarda, ne büyüklükte depremlerin olduğuna ilişkin objektif veriyi de sübjektif yargıyla birleştirerek olasılıkları tayin edebilirler

Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı uzmanların farklı olasılıklar verebileceğini de sübjektif tanımda doğallıkla kabul etmemiz gerekir

Bir A olayının olasılığı bu yaklaşımda şu şekilde verilebilir

Örneğin deprem olma şansını, olmama sansının 3 katı görüyorsak,

P ( A ) / 1-P ( A ) = 3 / 1

Eşitliğini yazabiliriz

Buradan P ( A ) Þ P( A ) = ¾

Olur

Öyleyse A? ya verilen şans x, verilmeyen şans y ise,

P ( A ) / 1 ? P ( A ) = X / Y E

şitliğinden A olayının gerçekleşme olasılığı

P ( A ) = X / X+Y

Olarak elde edilebilir

Başka bir deyişle ifade edilirse, bir A olayının gerçekleşmesine ilişkin sübjektif olasılık:

P ( A ) = A? ya verilen
şans / Toplam şans

Olarak tanımlanabilir

verilen şanslar ise genellikle kısaca x : y notasyonu ile belirtilir

Öyleyse yukarıdaki örnekte verilen şanslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir

OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPISI

Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır:

Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman)
Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı)
Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer)

Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler

Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs

ile matematiksel yapı oluşturulur

Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür

Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır

Olasılık Teorisinin Aksiyomları:

S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun

Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur:

P( A ) ³ 0
P( S ) = 1
S örnek uzayı A1, A2,

An,

ayrık olaylarından oluşuyor ise;

P ( A1 U A2 U

U An,

) = P (A1)+P (A2)+

+P (An)+

Eşitliği yazılabilir

A olayının olasılığı P ( A ) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir

Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir

Uygulama

A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım

(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12
(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4
(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5

Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır

Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1) ³ 0) sağlanır

Toplamlar 1? i verdiği için ikinci aksiyom ( P ( S )= 1)sağlanır

Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır

Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır

Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1? den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz

Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir

P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz

Bu yüzden olasılıklar geçersizdir

Bazı Önemli Teoremler

Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun

P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir

Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir

Teorem 1: At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 ? P ( A )

Teorem 2:(UAi)= åP(Ai)i=1 i=1

Olarak yazılabilir

Teorem 5: 0 £ P ( A )£ 1
Teorem 6: P ( A ) = P (AB) + P (ABt)

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Olasılık Teorisi Nedir? Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir Bu düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır Basitçe ifade edersek *olasılık,* rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır ??0?? olanaksızı ??1?? ise kesini simgeler Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte hesaplanabilir Bu büyük ölçüde ilgilenilen olayın niteliğine ve dolayısıyla baş vuracağımız olasılık tanımına bağlı olacaktır Olasılığın 3 temel tanımını görmeden önce, bu tanımlarda ortak kullanılan temel kavramları ele alalım TEMEL KAVRAMLAR Rastlantısal Deney ve Rastlantısal Deneme Raslantısal deney ya da kısaca *deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin gözlem yapma ya da veri toplama süreci olarak tanımlanabilir Örneğin hilesiz bir para 3 kez atılırsa kaç kez tura geleceğini, bir fabrikada üretilen makine parçalarının defoluluk yüzdesini tahmin etmek amacıyla çekilecek 40 adet makine parçasının kaç tanesinin defolu olacağını önceden bilemeyiz Öyleyse madeni para 3 kez atılıp, kaç kez tura geldiği sayıldığında ya da 40 adet makine parçası kontrol edildiğinde birer rastlantısal deney yapılmış olur Raslantısal deney raslantısal denemelerden* oluşur Paranın 3 kez atılması rastlantısal deney ise, her bir atış bir raslantısal denemedir Rastlantısal deney 40 adet makine parçasının incelenmesi ise, her parçanın kontrolü bir rastlantısal denemedir Süphesiz rastlantısal deney tek bir denemeden oluşuyorsa deney ? deneme kavramları denk olur Sonuç: Her bir denemede elde edilen durum denemenin *sonucu* olarak adlandırılır Örneğin para ikinci atışta tura gelmişse ya da kontrol edilen 17 Parça defolu ise bu durumda para atışı deneyinin 2 Denemesinde sonucu ??Tura??, parçaların kontrolü deneyinin 17 Denemesinin sonucu ??Defolu?? olarak gerçekleşmiş denilecektir Örnek Uzay: Bir rastlantısal deneyde gerçekleşebilecek tüm mümkün farklı sonuçların oluşturduğu küme *örnek uzay* olarak adlandırılır Örneğin rastlantısal deney hilesiz bir zarın bir kez atılması ise, deney 6 farklı biçimde sonuçlanabileceği için örnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacaktır Zar iki kez atılıyorsa, bu deney 36 farklı şekilde sonuçlanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , , (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) } Rastlantısal deney bir makine parçasının kontrolü ise, iki farklı sonuç mümkündür; parça defoludur ya da değildir Öyleyse örnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacaktır Örnek uzay kesikli veya sürekli olabilir S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,} gibi sayılabilir sonsuz değerlerden oluşan örnek uzaylar *kesikli* olarak nitelendirilirken, bir doğru parçası üzerindeki ya da bir düzlem içindeki noktalar gibi sayılamayan sonsuz sayıda elemandan oluşan, dolayısıyla tek tek değerler yerine S= { X\| a< x < b } gibi bir aralıkta ifade edilen örnek uzaylar ise *sürekli* olarak düşünülecektir Örnek uzayın kesikli ya da sürekli oluşu rastlantısal deneyi belirleyen değişkene ve bazen de bizim ölçme ya da kriterimize bağlıdır Örneğin dayanma süresini test etmek amacıyla, bir ampulün teli yanana kadar açık bırakıldığını düşünelim Ampulün teli hemen yanabileceği gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir Öte yandan zaman sürekli bir değişken olduğu için ampulün ömrü bizim ölçme hassaslığımıza (saat, dakika, saniye vs) bağlı olarak her değeri alabilir Öyleyse bu deneyin örnek uzayı S= { X \| 0 < X < ¥ } olacaktır Aralık olarak ifade edilen bu örnek uzay süreklidir Ancak var sayalım ki, pratik nedenlerle ampulün dayanma süresi tam sayı olarak ifade edilmek istensin Örneğin 2 saat 46 dakika olan bir değer en yakın tam değer olan 3 ile gösterilsin Bu durumda örnek uzay negatif olmayan tam sayılardan S={0,1,2,3,,¥} oluşan sayılabilir sonsuz yani kesikli örnek uzay olacaktır Olay Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine *olay* denir Örneğin bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı S= {1,2,3,4,5,6}? in alt kümeleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }kümeleri birer olayı gösterebilir Sözlerle ifade edilirse A1olayı zarın tek gelmesi , A2 olayı zarın çift gelmesi, A3 olayı ise zarın 3? ten küçük bir sayı gelmesi olabilir Yukarıda verilen ampul örneğinde ise ampulüm ömrünün 120 saatten az olması B1={x \| x<120} ya da 75 ile 1200 saat arasında olması B2={x \| x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olması B3={ x\|x >250} alt kümeleri birer olayı simgeler UygulamaHilesiz bir para üç kere atılsın Örnek uzayı en az tura gelmesi olayının kümesini oluşturduğumuzda En az 2 tura gelmesi olayını A ile gösterelim S ve A; S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacaktır Olayların çeşitli kombinasyonları da aynı örnek uzayda yeni olayların tanımlanmasını sağlar Aşağıda bunların temel olanları, Venn şemalarıyla birlikte verilmiştir A1 ÈA2 : A1? in veya A2? nin veya her ikisininDe gerçekleşmesi olayıdır A1A2 : A1 ve A2 olaylarının her ikisinin de Gerçekleşme olayıdır At1: A1? in tümleyeni olarak adlandırılacak Bu olay A1? in gerçekleşmemesi olayıdır A1 A2 : A1? in gerçekleşmesi ve A2 ? nin Gerçekleşmemesi olayıdır Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara *ayrık olaylar* denir Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 = Æ olduğu için ayrıktırlar Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır Uygulama A, B, C olayları aşağıdaki gibi tanımlansın A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g} A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve AB olaylarını yazınız Çözüm A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d} A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} AB= {a, b, c} OLASILIĞIN TANIMLARI P ( A ) = 3 ? 3P ( A ) P ( Æ ) = 0 Teorem 3: A1 Ì A2 ise P (A1) £ P (A2) Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) ? P (A1A2) 3 olayda söz konusu ise; P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) ? P(A1A2) ? P(A1A3) ? P(A2A3) + P(A1A2A3) Olacaktır (Boole eşitsizliği) P(A1 U A2) £ P(A1) + P(A2)teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise n n P Olasılığın hesaplanmasında ya da tanımlanmasında başlıca üç temel yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz Bu yaklaşımlarını kısaca ele alalım KLASİK YAKLAŞIM S, gerçekleşme şansları eşit (eş olasılıklı) sonuçlarından oluşan bir örnek uzayı ve A ise bu örnek uzayda tanımlı bir olayı göstersin A olayının gerçekleşme olasılığı P ( A ), bu yaklaşımda P ( A ) = n( A ) / n ( S ) Olarak tanımlanır Uygulama Hilesiz bir zar bir kez atılırsa 4? ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir? Çözüm Zarın hilesiz olduğunun belirtilmesi ile zarın yüzlerinin eşit gerçekleşme şansına sahip olması, dolayısıyla klasik tanıma başvurarak olasılığın hesaplanabileceği anlaşılmalıdır S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} olduğuna göre P ( A ) = 2 / 6 Olacaktır Örnek uzayının sonsuz olduğu durumda payda sonsuz olacağı için klasik tanımın kullanılmayacağı açıktır Bir diğer zayıf nokta ise örnek uzayı oluşturan tüm mümkün sonuçların eş olasılıklı (eşit sansa sahip) olması gerektiği koşuludur Bu varsayım aslında rastlantısal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan soyutlamadır Bu yüzden şans oyunlarına ilişkin olasılık problemlerinde zarın, madeni paranın hilesiz ya da homojen olduğu, iskambil destesinin iyi karıştırıldığı belirtilir Aslında matematiksel nesneler de fiziksel açıdan soyutlanmıştır Doğruların kalınlığı düzlemlerin yüksekliği yoktur Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik olarak tanımlanan çemberler pürüzsüzdür Oysa bir kağıdın üzerine çizdiğiniz doğru, düzlem ya da çember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar Kağıdın dokusu, mürekkebin kalınlığı nedeniyle aslında hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel düşünen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematikçiler (işlerini iyi yapmaları için bu şarttır) için bu durum sakınca yaratmaz Klasik tanımda yapılan soyutlama da bu anlamda matematiksel açıdan idealdir ve olasılık hesabına kolaylık sağlar Ancak olasılık yaşama ilişkindir ve tüm mümkün sonuçların her zaman eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek gerçekçi olmaz Örneğin yarın yağmur yağma olasılığı ile ilgileniyorsak, örnek uzayın iki elemanı vardır S={Yağmur yağar,Yağmur yağmaz}; klasik tanıma göre bu iki mümkün durumu eş olasılıklı kabul etmemiz, dolayısıyla her koşulda, her mevsimde yağmur yağma olasılığını ½ olarak vermemiz gerekir Benzer şekilde kuzey anadolu fay hattında 2005 yılına kadar deprem olma olasılığı ile ilgileniyorsak yine iki mümkün durum vardır: S={Deprem olur, Deprem olmaz} Hiçbir jeolojik inceleme yapmaksızın, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek şüphesiz gerçekçi olmayacaktır FREKANS TANIMI Klasik yaklaşımda rastlantısal deney soyut bir kavramdır Yani deneyin fiziksel olarak gerçekleştirilmesi gerekmez Diğer bir deyişle olasılıklar *önsel* (a priori) verilir Paranın hilesiz olduğu var sayılır ve tura gelme olasılığı 0,50 olarak hesaplanır Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir Para n kez atılırsa ve n ( A ) kez tura gelirse n( A )/n oranını yani tura sayılarının *frekans oranını* tura gelme olasılığı kabul edebiliriz Sezginsel olarak para ne kadar çok atılırsa n ( A )/n oranının gerçek olasılığa o kadar çok yaklaşacağını söyleyebiliriz Öyleyse olasılığın istatistiksel tanımı da denilen bu yaklaşımda, bir A olayının olasılığı P ( A ) = lim n( A )/ nn®¥ olarak tanımlanabilir Burada n, rastlantısal deneyin tekrarlanma sayısını, n ( A ) ise, bu denemelerde A olayının gerçekleşme sayısını (frekansını) göstermektedir Öyleyse bu tanımda olasılıklar klasik tanımın tersine *sonsal* (a posteiori) verilmektedir Zar hilesiz olduğu için klasik tanıma göre, herhangi bir yüzün gerçekleşme olasılığı P ( A ) = 1/6 @ 0,1667 Olacaktır Doğada ve toplumda bir çok olayın olasılığını hesaplamada, bu olayların geçmişteki tekrar sayılarına (frekansına) başvururuz Bu yüzden frekans tanımı geniş bir uygulama alanına sahiptir Örneğin sigorta şirketleri belirli bir yaş grubundaki bir kişini ölme olasılığını hesaplamada daha çok ölüm istatistiğine başvururlar Çünkü belirli bir yaş grubundaki ölümlerin toplam ölümlere oranı (frekans oranı) yıldan yıla büyük değişiklik göstermez Geçmiş verilere bakıldığında bu oranın belirli bir değere yakınsadığı ve güvenebileceği anlaşılır Her ne kadar klasik tanımın kısıtlamaları (sonlu örnek uzayı ve örnek uzayın elemanlarının eş olasılıklı olması varsayımları) bu tanımda yoksa da, frekans oranı tanımının da zayıflıkları vardır Birincisi, tanımda yer alan sonsuz kavramının pratikte neyi temsil ettiğine, gerçek olasılığa yakınsamanın gerçekleşmesi için kaç denemeye ihtiyaç olduğuna ilişkin kesin bir yanıt vermek olanaksızdır İkincisi, bir dizi denemede belli bir değere yakınsamanın gerçekleşeceğini varsaysak bile; başka bir dizi denemede aynı değere yakınsamanın gerçekleşeceğine ilişkin teorik bir garanti yoktur SÜBJEKTİF TANIM Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir sayıdır Burada 0 olanaksızlığı, 1 ise kesinliği simgeler Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25? lik Pazar payı alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul? un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada kullanılabilir Olasılıklar tayin edilirken objektif veriye ve / veya sübjektif yargıya başvurulur Örneğin deprem olasılığını hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fayın ne kadar kırıldığını incelemek ve riskli fayın 3 boyutlu görüntüsünü çıkarmak suretiyle gelecek depreme ilişkin sübjektif yargıda bulunabilirler Bunun yanı sıra geçmişteki düzenli levha hareketlerini, daha önceki tarihte, hangi noktalarda, ne büyüklükte depremlerin olduğuna ilişkin objektif veriyi de sübjektif yargıyla birleştirerek olasılıkları tayin edebilirler Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı uzmanların farklı olasılıklar verebileceğini de sübjektif tanımda doğallıkla kabul etmemiz gerekir Bir A olayının olasılığı bu yaklaşımda şu şekilde verilebilir Örneğin deprem olma şansını, olmama sansının 3 katı görüyorsak, P ( A ) / 1-P ( A ) = 3 / 1 Eşitliğini yazabiliriz Buradan P ( A ) Þ P( A ) = ¾ Olur Öyleyse A? ya verilen şans x, verilmeyen şans y ise, P ( A ) / 1 ? P ( A ) = X / Y E şitliğinden A olayının gerçekleşme olasılığı P ( A ) = X / X+Y Olarak elde edilebilir Başka bir deyişle ifade edilirse, bir A olayının gerçekleşmesine ilişkin sübjektif olasılık: P ( A ) = A? ya verilen şans / Toplam şans Olarak tanımlanabilir verilen şanslar ise genellikle kısaca x : y notasyonu ile belirtilir Öyleyse yukarıdaki örnekte verilen şanslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPISI Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır: Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman) Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı) Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer) Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs ile matematiksel yapı oluşturulur Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır Olasılık Teorisinin Aksiyomları: S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur: P( A ) ³ 0 P( S ) = 1 S örnek uzayı A1, A2,An, ayrık olaylarından oluşuyor ise; P ( A1 U A2 UU An,) = P (A1)+P (A2)++P (An)+ Eşitliği yazılabilir A olayının olasılığı P ( A ) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir Uygulama A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım (a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12 (b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4 (c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5 Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1) ³ 0) sağlanır Toplamlar 1? i verdiği için ikinci aksiyom ( P ( S )= 1)sağlanır Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1? den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz Bu yüzden olasılıklar geçersizdir Bazı Önemli Teoremler Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir *Teorem 1:* At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 ? P ( A ) Teorem 2:(UAi)= åP(Ai)i=1 i=1 Olarak yazılabilir Teorem 5: 0 £ P ( A )£ 1 Teorem 6: P ( A ) = P (AB) + P (ABt)