matematiğin temelleri-matematik felsefesi

Matematiğin temelleri

"Matematiğin temelleri" olarak bilinen matematik dalı matematiğin tümü için geçerli olan en temel kavramları ve mantıksal yapıları inceler Sayı, küme, fonksiyon, matematiksel tanıt, matematiksel tanım, matematiksel aksiyom, algoritma vb gibi kavramlar Matematiksel mantık, Aksiyomatik Küme Teorisi, Tanıtlama Teorisi, Model Teorisi, Hesaplama teorisi, Kategori Teorisi gibi yine matematiğim temelleri olarak anılan alanlarda incelenir Bununla birlikte matematiğin temellerinin araştırılması matematik felsefesinin ana konularından biridir Bu daldaki can alıcı soru matematiksel önermelerin hangi nihai esaslara göre "doğru" ya da "gerçek" kabul edilebileceğidir

Geçerli baskın matematiksel paradigma aksiyomatik küme kuramı ve formel mantık üzerine kurulmuştur Günümüzde neredeyse bütün matematik teoremleri küme kuramının teoremleri şeklinde ifade edilebilmektedir Bu bakış açısına göre matematiksel bir önermenin doğruluğu (gerçekliği) önermenin formel mantık yoluyla küme kuramının aksiyomlarından türetilebildiği iddiasından başka bir şey değildir Bununla birlikte bu formel yaklaşım bazı konuları aydınlatmakta yeterisz kalır: Neden kullandığımız aksiyomlar yerine başka aksiyomlar kullanmayalım? Neden kullandığımız mantık kuralları yerine başka mantık kuralları kullanmayalım? Neden "doğru" matematiksel önermeler (örneğin aritmetik yasaları) fiziksel dünyada doğruymuş gibi görünür? Bu sorunsal Eugene Wigner tarafından (1960) "en:The unreasonable effectiveness of mathematics in the physical sciences" (Matematiğin doğa bilimlerindeki anlaşılmaz etkililiği) adlı çalışmasında ayrıntılı olarak işlenmiştir

Yukarıda belirtilen formel gerçeklik nosyonunun hiçbir manası da olmayabilir Başka bir deyişle tüm önermelerin, hatta paradoksların, küme kuramı aksiyomlarından türetilmesi olanaklı olabilir Bunun ötesinde Gödel'in ikinci teoreminin sonucu olarak bunun böyle olmadığından hiçbir zaman emin olamayız

Matematiksel gerçekçilikte (Platonizm olarak da bilinir), insanlardan bağımsız olan bir matematiksel nesneler dünyasının var olduğu öne sürülür Matematiksel nesnelere ilişkin doğrular insanlar tarafından keşfedilir Bu görüşe göre doğanın yasaları ve matematiğim yasaları benzer bir statüdedir ve matematik yasaların doğadaki etkililiğinin mantıksız olduğu savı geçerliliğini yitirir Aksiyomlarımız değil, matematiksel nesnelerin elle tutulabilir gerçek dünyası matematiğin temellerini oluşturur Bu noktada doğal olarak beliren soru, (Bu matematiksel dünyaya nasıl erişlebilir?) sorusudur

Matematik felsefesinde bazı modern kuramlar, özgün anlamıyla, temellerin var olduğunu reddeder Bazıları matematiksel uygulama üzerinde yoğunlaşır ve matematikçilerin bir sosyal grup olarak somut çalışmalarını betimlemeyi ve çözümlemeyi amaçlar Yine başkaları, matematiğin 'gerçek dünyaya' uygulandığında güvenilirliği konusunda insanın bilişseliğine yoğunlaşarak matematiği bilişsel bilim olarak oluşturmaya çalışır Bu kuramlarda temeller yalnızca insan düşüncesinde bulunur ve 'nesnel' dış yapıda yoktur Bu konu hala çözüme kavuşturulamamıştır



Matematik felsefesi, matematiği anlama çabalarını sınıflandırmaya çalışan bir felsefe dalıdır

Başlıca soruları matematik ve matematiğin konusu olan nesnelerin kaynağı ile ilgilidir Özellikle doğru bir önermenin özelliklerini inceler (ayrıca bkz Ontoloji) Platonizmin, örneğin Kurt Gödel tarafından kabul edilen şekli, konuya bu yönden yaklaşmaktadır

Diğer önemli bir konu matematiksel bir kuramın gerçekliğidir Matematik (Doğa Bilimlerinden farklı olarak) deneysel olarak sınanamadığı için belirli bir matematik kuramını gerçek bulmak için nedenler aranmaktadır (Bkz Epistemoloji) Luitzen Brouwer’in temellerini attığı Sezgici Matematik bu görüşün bilenen temsilcilerindedir Mantıkçı Matematik yaklaşımı ise Bertrand Russell ve Gottlob Frege tarafından savunulmuştur David Hilbert, biçimcilik akımının temsilcilerinden sayılmaktadır Gelenekselcilik mantıkçı görgücüler (Rudolf Carnap, Alfred Jules Ayer, Carl Hempel) tarafından temsil edilmiştir

Sezgici Matematik

Matematik felsefesinde, sezgicilik ya da (eski sezgiciliğinin karşıtı olarak) yeni sezgicilik akımı, matematiğe insanların oluşturucu etkinliği olarak bakan bir yaklaşımdır

Sezgici matematikte her türlü matematiksel nesne bir aklın ürünüdür dolayısıyla nesnenin var olma olanağı da nesnenin oluşturulabilme olanağına denktir Bu görüş, bir nesnenin varlığının, nesnenin var olmamasının bir çelişki teşkil etmesine dayanarak ıspatlanabileceğini savunan klasik yaklaşıma karşıttır ve sezgicilere göre bu klasik yaklaşım geçersizdir Nesnenin var olmamasının bir çelişki yaratması nesnenin var olduğuna ilişkin oluşturmacı bir kanıtın var olabileceği anlamına gelmez Bu yaklaşımıyla sezgicilik oluşturmacı matematiğin bir türüdür

Sezgici matematik, matematiksel önermelerin geçerliliğini, önerme için bir ıspatın var olmasına bağlar Sezgici matematikçiye göre matematiksel nesneler salt ussal yapılar ise geçerli olabilmeleri için ıspatlanabilir olmalarından başka herhangi bir ölçüt olamaz Bunun sonucu olarak sezgici matematikçi bir matematiksel önermeyi klasik bir matematikçinin aldığı anlamda kabul etmez Örneğin bir sezgici matematikçiye A ya da B demek ya A ya da B önermesinin ıspatlanabileceğini savunmaktır Özel olarak Üçüncü olanağın dışlanması kanunu, A ya da değil A, geçersizdir çünkü her zaman için A ya da değil A önermesini ıspatlamanın mümkün olduğunu varsaymak mümkün değildir (Ayrıca bkz Sezgici Mantık)

Sezgicilik soyut sonsuzluk kavramını da reddeder Örneğin tüm doğal sayıların kümesi ya da rasyonel sayıların herhangi bir dizisi gibi sonsuz nesneleri meşru olarak kabul etmez Bu yaklaşım kümeler kuramı ve kalkülüsün büyük bir bölümünün yeniden oluşturulmasını gerekli kılar ve klasik kuramlardan çok farklı olan kuramlara yol açar

Oluşturmacı Matematik

Matematik felsefesinin oluşturmacılık akımına göre matematiksel bir nesnenin varlığını kanıtlayabilmek için, nesnenin bulunması (ya da "oluşturulması") gerekir Oluşturmacılara göre bir nesnenin var olmadığını varsayıp bu varsayımdan bir çelişki türetildiğinde -nesnenin kendisini bulmadıkça ("oluşturmadıkça")- nesnenin varlığı da kanıtlanmış olmaz

Oluşturmacılık çoklukla matematiksel sezgicilik ile karıştırılır; fakat gerçekte sezgicilik oluşturmacılığın bir türüdür Sezgiciliğe göre matematiğin temelleri kaynağını bireysel matematikçinin sezgisinden almaktadır dolayısıyla matematik özünde öznel bir etkinliktir Oluşturmacılık bu görüşe katılmayıp matematiğe nesnel yaklaşımla tamamıyla uyuşmaktadır

Matematiksel mantık

Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti

Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi

Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi Bu yöntem 1972'de A Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı Bu dil 1975'te D Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı