Matematiksel Modelleme (Tez Konusu)

Matematiksel Modelleme Becerilerinin Tanımlanması ve Öğretimi

Birçok şirket ve hükümet modelleme ve simülasyonu kullanmaya başladılar Bu sebepten dolayı Avrupa ve Amerika’da “Matematiksel Modelleme” terimi içeren dersler çoğalmıştır En önemli soru ne ve nasıl dersler öğrenciye öğretilecek? Matematiksel Modelleme terimi, bütün modelleme sürecini açıklamasına karşın başlangıçta bir problemin matematiksel formülasyonuna ulaşma şeklinde daha sınırlı bir süreci açıklamak için kullanılacaktır

2 Matematikçi Gözüyle Matematiksel Modelleme:
Öğretilen matematik, matematiğin uygulanmasından farklıdır
Bu cümle sınıflarda matematiğin popüler olmamasının sebeplerinden birisidir Modellemeyi öğretme ne uyguladığını öğreterek düzeltmeye çalışır İki farklı okul tipi vardır: Platonist ve Formalist Birçok matematikçi herhangi birinde yer alabilir Platonistler, matematiğin keşfedilmesini bekleyen sonsuz kuralları içerdiğine inanırlar Bu kurallar insanlıktan bağımsız olarak vardır Formalistlerin inanışına göre insanlık tarafından bilgiyi içermesi ve dünyayı tarif etmek için kullanılır Bir çok matematikçi platonist olduklarını söylerler fakat formalistleri uygularlar Bu modelleme sürecine göre kendisini daha okunabilir kılan formal bir bakış açısıdır
İyi bir modellemeci önemli becerilere sahip olmalıdırBu makalede bu becerilerin kesinlikle ne olması gerektiği belirlenmiş ve onları öğretmenin farklı yolları incelenmiştir Bu yapılmadan önce modelleme sürecindeki safhalar tanımlanmalı ve açıklanmalıdır

3 Modelleme Süreci:
31 Problemin Analizi:
Bu safhada modelleyiciler problemin arka planını ve sonuçların nasıl kullanılacağını araştırır Her modelleme bu amaç için oluşturulur Bu amaç ile ilgili olarak açık olması gereklidir Vatandaş mevcut bütün bilgiyi ve herhangi veri ve yada parametreleri eksiksiz ve biçimsel olan tüm bilgiyi araştırmalı ve keşfetmelidir 0,8 yere göre modellemenin planlanmasının ayarlanması eğer data aynı seviyede değerlendirilirse anlamlı olur Gereken beceriler makaleleri ve kitapları araştırmak, anket yapmak, anlamak ve ayrıcalıklı dinlemektir Bunlar matematiksel teknik olarak gereklidir Bu safhanın sonucu problem için amaçların ve objektiflerin bir kümesidir

32 Problem Belirleme :
Bu aşamada matematiksel modelleme becerisi gerektirir Problemin matematiksel tarifi elde edilir Bu becerilerin öğretimi ve tanımlanması bu makalenin ana konusudur

33 Model Analizi:
Endüstriyel ve ticari modellemede genellikle karmaşıktır ve çözümü için fazla zaman gerektirir Böylece çözmeden önce denklemlerin doğru oluşturulması gerekmektedir Bu durumda kesin olamayız fakat burada yapılabilen kesin testler olabilir Mesela Steady States, Phase-plane analize bakarak özel durumlara, değerlere ve parametrik yorumlara bakılarak yapılabilir Buradaki beceriler oldukça özeldir ve matematiksel olarak terimlendirilir
Bu şamadaki beceriler tamamen matematikseldir Problemin doğru çözümünü elde edebilmek için uygun teknikler seçilmeli ve doğru uygulanmalıdır Bu beceriler matematiksel bilgi, yargılama, hesaplama yada program yapabilme kabiliyeti gerektirir
Doğru geçerlilik çoğunlukla zordur ve bazen de imkansızdır Genelde sonuçları karşılaştıracak gerçekler yoktur, birilerinin öngördüğü kavramlardır Bu aşamada deneysel çalışma karmaşık ve sofistikedir, genellikle istatistiksel teknikler içerir Bu aşamada diğerlerinin hepsinden daha yüksek matematiksel adım olması gerekir

4 Modelsel Becerilerin Geliştirilmesi:
Matematik yapma süreci ve problem çözme süreci farklıdır Modelleme sürecini tanımlayabilmek için iki farklı düşünme tarzı gerekmektedir: Dikey düşünme ve yatay düşünme Dikey düşünme, her adımı bir öncekinin mantıksal olarak devamı olan lineer bir tarzdır YES / NO sistemi ile bağlantılıdır Yatay düşünmeyi, en güzel anayolda işleyen trafiğe benzer olarak gösterebiliriz Bazen yan yolu kullanarak ve anayolu atlayarak hedefe ulaşmak daha kolaydır Yani bazen standart olmayan yaklaşımla problem çözümüne ulaşmak daha kolaydır Bu düşünmede YES / NO sistemine gerek yoktur De Bono alternatif olarak yeni sistem oluşturmuştur 4 ve 5 aşamalarda dikey düşünme gerektirirken diğer aşamalarda daha çok yatay düşünme gerektirirDüşünme iki şamada oluşur: Algılama ve İşlem
Daha geleneksel matematiksel problemler için çözüm yolu ne kadar net ise o kadar az algılama gerektirir Daha gerçekçi durumda ilk aşamalarda yanlış algılama ekstra çalışma gerektirebilir Aslında başlangıçtaki algılama tamamen yanlış ise, yani büyük miktardaki doğru matematik durumu kurtarmaz Yatay düşünme algılama aşaması ile ilişkili, dikey düşünme işlem aşaması ile ilgilidir Biri diğerinden daha üstün değildir Her iki düşünme için iyi bir modellemeci gerekir İki beceri de gerekir ve iki düşünme biçimi de kullanılır

5 Matematiksel Modelleme Becerileri:
Kabul edelim ki ilk safha tamamlansın Problem analiz edilsin, amaçlar ve konular oluşturulsun Şimdiki beceri bu amaçları ve konuları matematiksel forma dönüştürmektir Probleme uygun genel denklemler yazılır ve hangi terimlerin tutulacağı ve hangilerinin atılacağı kararlaştırılır Hangi özellikler bunu yaptırır Bazı ihtimaller şunlar: Birçok yıl benzer durumlardan (modellerden) elde edilen tecrübe bu özel alanda onun uzman olması gerçeği yada doğru bir matematik için sezgisel bir his İlginç bir tecrübe şu olacaktır: Bir matematikçiyi özel alanından ayırmak ve denklemleri nasıl elde edeceğini gözlemlemektir

Değişkenin Tanımlanması:
Değişkenlerin tanımlanması, uzman görüşüne göre denklemdeki hangi terimlerin önemli olduğu yargısına karşılık gelir Problemi etkileyen faktörler liste halinde yazılır Her faktör belirlenir ve onun hakkında varsayım oluşturulur Varsayım bu faktörleri ya ihmal eder yada o faktör bazı önemli özelliklere sahiptir Bu metoda açık belirgin engel, birinin hangisini alacağına ve hangi özellikleri ihmal edeceğine karar vermesidir Erken öğretim safhasında tavsiyemiz şudur: modeli olabildiğince basit tutmak gerekir ki böylece sadece gerekli olan terimler alınır Modelin başının mümkün olduğunca basit ifade edilmesi aslında iyi bir tavsiyedir daha sonraki terimler safha safha tanıtılır Zaman geçtikçe model daha gerçekçi hale getirilir İlk başta detaylara önem vermeden kaba bir şekil oluşturan heykeltıraşlara benzetilebilir Özellik listesinin avantajı bir şeyi öğretmektir Öğrenciyi zanları hakkında dikkatlice düşünmesi için onu zorlar ve bunun olması için metodolojide net bir safha oluşturulur Hangi değişkenlerin önemli olduğuna karar verme problemi açık değildir Ama özellik listesindeki açıklar öğrenciye sistemli metotlar için alternatif bir yaklaşım kazanmayı ve aşağıdaki şekilde öğrenciyi zorlar
Çıktılar girdilerin bir fonksiyonudur Bu model için kullanışlı bir model bir çok yolla geliştirilebilir

412: Denklemlerin Formüle Edilmesi:
Öğrenciler bu aşamayı en zor aşama olarak görürler Formülasyon için oluşturulmuş metotlar yoktur Böylece Sunderlant Polytechnic’te kullanılan iki metot tartışılır: İnput- Output prensibi

Şimdiki zamanda değişkenlerin prensibi= Önceki zamanda değişkenlerin hesabı
+ Aralıkta oluşturulan miktar
- Aralıktaki göz ardı edilen miktar
+ Sistemde…


Modelleme Öğretimi İçin Uygulamalar
Beceriler öğretilebilir fakat iyi öğretim geliştirmek mi yoksa öğretme becerilerini kazandırmak mı? Becerinin sözlük tanımı kabiliyeti uygulayabilmektir Böylece modelleme sınıfının önemli özelliği, öğrenciye matematiği uygulatmak değil öğrenci için uygun çevre sağlamaktır ve matematiğin dilini kullanarak program tanımlama sürecini uygulamaktır Böylece bu zordur En önemlisi öğrencinin yanlış yapmaktan korkmadığı atmosferi oluşturmaktır Bunu yaparak öğretmen rehber olmalıdır Dikey düşünme geleneğinde en iyi çözümler için kullanışlı atlama taşları gibi hatalar göz ardı edilir Öğrencileri küçük gruplara bölmek bu atmosferi yaratmada yardımcı olur Gruptaki herkesin söz hakkı vardır ve öğrenciler dinlemeyi ve arkadaşlarının düşüncelerine katılmayı öğrenirler Gruplar sunma becerilerinin uygulandığı sık aralıklarda sınıfta rapor verirler Öğrenciler özgürce düşünmeleri ve tartışabilmeleri için cesaretlendirilmelidirler Problem grup üzerinde çalıştıktan sonra grubun çalışması sınıf önünde sırayla sunulur Öğrencinin cevabı tek cevap(tek model) değildir Problem modellemede bir doğru çözüm yoktur Yayınlanmış ve çalışılan modeller hala yönlendiricidir Buradaki bir problem modelleme aşamaları nadiren ifade edilir ve modelleme kağıtlarının çoğu denklemler formüle edildikten sonraki süreçle ilgilidir Yayınlanmış modelleme kaynakları benim bulduklarım Kopernik, Newton, Einstein ve Bohr gibi ünlü bilim adamlarının biyografilerinde yer alır
Şu açıktır ki farklı beceriler matematiksel beceri için burada uygulanır ve aynı yolla farklı değerlendirme prosedürlerine ihtiyacı vardır İngiltere’de 3 saatlik resmi sınavlar testler için doğru kabul edilir Bu THE, test etmek için doğru yoldur Endüstride olduğu gibi modelleme yapanlar, akademisyenlerden daha çok elverdiğince bunu kabul ederler
Modelleme dersinde nelerin test edileceği (test edilecek şeyler); model oluşturmadaki öğrencilerin kabiliyeti bunu eleştirmeleri ve modeli geliştirirken oluşan eleştirilere tepki göstermeleri test edilir Son olarak bu yapılmalıdır fakat saatler değil haftalar boyunca sürmelidir Öğrenci akranlarına danışabilir ve onların düşüncelerini kullanabilir
Bunu belirlemek için birçok yol vardır Değerlendirme verileri, tümgün açık kitap sınavlar yada sözlü sınavlar
Modelleme dersinin planlanmasının ilk şamasında değerlendirme prosedürleri tam olarak tartışılır 3 saatlik sınavın belirgin bir avantajı en az düzeyde kaynak kullanılmasıdır Bu düşüncede direnilmelidir çünkü modele karar verince bütün yanlış yönleri etkin şekilde görülebilir
Modelleme özel ödev prosedürleri gerektirir
Sunderland Polytechnic bu alandaki araştırmada aktiftir ve yazar, herhangi bir konuda daha fazla iletişimle ilgilenecektir

Alternatif 2

Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme:

Mathematiksel modelleme, problem çözme sürecini içerir Problem çözme, model aramadır Problemler, somut araçlarla, sözcüklerle, sembollerle, resimlerle (şekil, grafik, vd görsel öğeler) biri veya birkaçı ile modellenebilir Problem çözmede izlenecek adımlar, başta Piage olmak üzere çok sayıda matematikçi ve matematik eğitimcisi tarafından incelenmiş ve bulgular rapor edilmiştir
Bilgilerinin Dönüştürülmesi ve Kullanılması: Temel matematik bilgileri ve edinilen beceriler, başta fen bilimleri olmak üzere diğer alanlarda kullanılmakta; gözlemlenen olaylar ve olgular açıklanmaktadır Bu süreçte matematikte edililen bilgi ve deneyimin diğer alanlar için gerekli yeterliklere dönüştürülmesi ve kullanılması temel eğitimin amaçlarından biri olup bunun gerçekleştirilmesi beklenir
Hesaplama Araçlarını Etkin Kullanma: Hesaplama araçlarından biri olan elektronik hesap makineleri, günlük yaşantımızda kağıt-kalem ile hesaplama yerine çok yerde (örneğin, işyeri, ev, pazar yerleri vd) kullanılmaktadır Bunun başlıca nedeni, hesaplamanın, örneğin dört işlemin, daha hızlı ve doğru yapılmasıdır Ancak, basit bir makine de olsa işlemlerin doğru yapılabilmesi için kullanan kişinin bazı beceriler edinmesi, elde ettiği sonucun akla yatkınlığı konusunda temel matematik bilgisinin olması gerekir
Matematiksel İletişim: Matematiğin kendine özgü bir anlatım dili ve biçimi, evrensel sembolleri ve işaretleri vardır Matematiksel düşüncenin yansıtılması ve paylaşımı sözlü ve yazılı iletişim gerektirir Bu süreçte özgün dil, kuralları uygun olarak kullanılır Bu dilin, kavram ve kurallarıyla birlikte öğrenilmesi ve doğru kullanılması gerekmektedir

Başka bir Alternatif

Matematiksel Modelleme


Babil medeniyetinden dikkatli ölçmeyi ve gözlem yapmayı öğrenen eski Yunanlılar, tabiatı, mantıklı analiz dizisi ile anlamaya uğraştılar Aristo'nun oldukça inandırıcı olan söylemlerinden biri olan, "dünya düz değildir"'den esinlenen günün diğer felsefecileri, "o zaman dünyanın çapı nedir?" gibi sorular ile uğraşmaya başladılar Hayret verici olan bir gelişme, Eratostenes'in bu ölçüyü oldukça yakın olarak bulmasıdır, hem de yaşadığı şehir olan İskenderiye'den dışarı ayak bile basmadan! Kullanılan yöntem bazı kestirmeler ve temel alınan birkaç varsayım içeriyordu Dünya mükemmel bir küredir (olmasa da onun hesabı için bu uygundu), güneşin ışınları birbirine paralel olarak yol alır, Syene şehri İskenderiye'nin 5000 stadya (bir ölçü birimir) kadar güneyde yer alır, vs Bu varsayımlardan yola çıkarak, Erotostenes bir matematiksel dünya yarattı ve bu dünya üzerinde geometri'nin uygulanabilir olduğunu gördü!

Günümüzde, aynen Yunanlı bilginlerin yaptığı gibi, bilim adamları etrafımızdaki dünyayı daha pragmatik bir seviyede anlayabilmek ve akabinde teknik sorulara çözüm bulabilmek için, etrafımızdaki dünyayı matematiksel terimlerle temsil etmeye devam ediyorlar Gerçeği matematiksel bir dil ile 'taklit etmeye' yardım eden bu işlem ve düşünce şekline, matematiksel modelleme adı veriliyor
Bir problemi matematiksel terimler kullanarak göstermenin bazı yararları var İlki, altında olduğumuz şartları öne sürmemizi ve tanımlamamız için bizi zorlaması, ki bu güzel bir şey Gerçek dünyada olmakta olan problemler çetrefilli olduklarından, hangi değişkenlerin çözümümüz için önemli, hangisinin önemsiz olduğunu daha matematiksel uygulama başlamadan kararlaştırmak önemli Bu seçim yapıldıktan sonra, genelde bazı kanunlar ve kuramlar kuruluyor ve bu varsayımlar, modelimizin idealleştirilmiş hali adı altında irdelenmeye başlanıyor
Matematik'in en önemli yararı, mantıksal sonuçlara varabilmek icin elimizdeki varsayımlardan başlayarak bu formülleri değişimden geçirmemize yardım eden temel teknikler vermesi Böylece elimize analiz yapabilmemiz için sağlam bir temel geçiyor, aradığımız sonucun ne olduğunu baştan tam kestirmesek bile, bu modelleme işlemi bize yolda yardım edecek araçlar sağlıyor
Ayrıca matematiğin, bilgisayarlar tarafından sayısal cevaplar alınabileceği bir ortam sağlamasi da önemli bir avantaj
Etkili matematiksel modeller kurmak oldukça yetenek isteyen bir iş, tasavvur ve tarafsız irdeleyebilme kabiliyeti gerektiriyor Daha önceden kurulmuş olan öteki modelleri örnek olarak incelemek, modelleme sürecinin nasıl bir şey olduğunu hissetmek için yararlı olabilir Revaçta modellemeyi öğreten çok güzel kitaplar ve makaleler var Bu yazımızda bizim odaklanacağımız, birinci derecen türevsel denklem içeren matematik modelleri olacak İzleyeceğimiz modelleme işleminin ana hatları şöyle olacak
Problemi Formüllere Dök
Bu safhada amacımız bir formülü kurmak Böylece cevabın matematiksel olarak 'bulunabileceğini' umuyoruz Tabii bu işlem hem matematiği hem de problem alanını bilmemizi gerektiyor Bu seviyede, matematikçi olmasa bile problem alanında uzman olanlar kimseler ile konuşmanız yararlı olabilir Ayrıca problem alanını anlatan eserleri okumanız iyi olacaktır
Modeli Geliştir
Burada yapılacak iki şey var İlk önce hangi değişkenler önemli, hangiler değil ona karar vermeniz gerekiyor Önemli olanların arasından, bazıları bağımlı bazıları bağımsız değişken olarak tanımlanacaklar Önemsiz değişkenleri şöyle farketmeniz mümkün; modellenen süreç üzerinde hiç etkisi olmayan değişkenler sizin için önemli değildir ve atılabilir Mesela, binadan aşağı düşen bir topun hareketini incelemek istiyorsanız, topun hangi renkte olduğu modeliniz için önemsizdir
Bağımsız değişkenler modeli etkileyebilecek, modele giriş olarak verilebilecek değerlerden seçilir Yere düşen cisim için, cismin şekli, kütlesi, başlangıç noktası, başlangıç hızı, ve hangi zamanda bırakıldığı bu tür bağımsız değişkenlerdendir Bağımlı değişkenler, adı üzerinde, değerleri bağımsız değişkenlere bağlı olan fakat, gene de model için önemli olan değişkenlerdir Yere düşen cisim için bunlar hız, katledilen mesafe, yere çarpma zamanı gibi değişkenler bağımlı değişkenler arasında sayılabilir
İkinci yapmak gereken şey, bu değişkenler arasındaki bağlantıları bulmak (mesela birinci derece türevsel denklem kurarak) Bunu yapmak problem alanı hakkında bilgi ve vizyon gerektirir Taslak bir modelle başlayabilirsiniz, ve testleriniz sonucunda modeli safileştirmek (rafine etmek) mümkündür Mesela yukarıdaki örnek için başlangıçta sürtünme kuvvetini hesaba katmayabilirsiniz, fakat ileride daha net sonuçlar için sürtünmeyi modele eklemeniz gerekebilir
Modeli Test Et
Modeli hemen test verileri ile 'doğrulamaya' uğraşmadan önce, şunlara tekrar göz atın

* Varsayımlar akla yatkın mı? * Denklemler birim değerlerini doğru kullanıyor mu? (Mesela kuvvet değerlerini, hız değeri ile toplamak yanlış olur) * Model iç yapısı bakımından tutarlı mı? Yani, modeli oluşturan denklemler birbiri ile çatışma halinde mi? * Elimizde olan denklemler çözüm verebilecek nitelikte mi? * Çözümü bulmak, elimizdeki denklemler ile ne kadar zor olacak? * Çözüm, incelediğimiz probleme yardım edecek türden olacak mı?
Nüfus Artış Modeli
Bir ülkenin nüfus artışını nasıl tahmin edebiliriz? Eğer bir gurubun nüfus artışını tahmin etmek istiyorsak, bu gurubu her dış etkiden uzak izole bir kapalı kutu halinde düşünebiliriz Bu kutu mesela biyolojide Petri tabağı denen bir ortam, ya da günlük hayatta bir ada olarak tanımlanabilecek bir ortam olabilir Böylece nüfus artışını izole bir şekilde 'tek odada' incelememiz mümkün olacak
Diyelim ki, p(t), t zamanında ölçülecek olan nüfusu veriyor olsun Şimdi çoğalma (doğum) ve azalma (ölüm) hızlarını hesaplayalım
Örnek olarak şöyle düşünelim, bir bakteri kendini ikiye bölerek çoğalır Bizim modelimiz için de, büyüme hızının, o anki mevcut nüfusa oranlı olduğunu varsayalım Bu varsayım bakterilerin büyüme şekli ile tutarlı Büyüyecek yer ve yeteri kadar yiyecek olduğu sürece, bakteriler büyüyeceğini biliyoruz Bir diğer varsayım da şöyle olsun, ölüm oranı sıfır (Unutmayalım ki, hücre bölünmesinde ebeveyn hücre ölmez, iki hücre haline gelir) Yani bakteri nüfusu için bir model şöyle olabilir

k1 > 0 olarak tasavvur edeceğiz k1 büyüme oranı 'sabitidir' p0, nüfusun t = 0 (yani başlangıçtaki) sayısıdır Şimdi bakterilerden, insan nüfusuna gelelim İnsan nüfusu için hiç ölmeme varsayımı tabii ki yanlış! Fakat, insanların sadece doğal sebeplerden öldüğünü varsayarsak, ölüm oranının da o anki nüfus sayısına orantılı olduğunu düşünebiliriz Bu yüzden, ilk denklemi değiştirip, şu hale getiriyoruz

k2 olarak nitelenen sabit, ölüm oranı olarak temsil edildi k1'in her zaman k2'den büyük olduğunu farzedersek, asâgıdaki model çıkar

Birçok k sabiti kullanılmış olması aklınızı karıştırmasın Doğum ve ölüm oranlamaları değişik sabitler gerektiyor, ama önemli olan bir 'sabit' kullanıldığını farketmek Sonuçta demeye çalıştığımız nüfus ile nüfus büyümesi arasında doğrusal bir bağlantı olması Sabite ihtiyacamız da buradan geliyor
Elimize geçen son formül, ünlü bir formüldür, Maltezyen ya da nüfus artışının üstel (exponential) kanunu olarak bilinir Denklem ayırılabilir olduğu için, işlemden geçirip p fonksiyonunu bulmak mümkün

Maltezyen modelini test etmek için, Amerika'nın nüfus artış verisini kullanabiliriz
Sene Nufus Maltezyen Lojistik

1970 393 393 33
1800 531 519 530
1810 724 684 713
1820 964 903 958
1830 1287 1192 1282
1840 1707 1573 1707
1850 2319 2076 2260
1860 3144 2739 2970
1870 3982 3615 3865
1880 5016 4770 4969
1890 6295 6295 6295
1900 7599 8307 7837
1910 9197 10963 9564
1920 10571 14467 11421
1930 12287 19091 13328
1940 13167 25194 15200
1950 15133 33247 16956
1960 17932 43875 18535
1970 20321 57900 19901
1780 22650 76408 21046
1990 24963 100832 21977
2000 ? 133063 22719

Örnek 1
Eğer t = 0 değeri için 1790 senesini alırsak, son formüle göre şöyle p(t) formülü nasıl bulunabilir?

p(t)'yi bulduk Yukarıda ki verilerden formülü kontrol edersek, Maltezyen tahmini 1900 tarihine kadar tuttuğunu görürüz Fakat 1900'den sonra tahmin edilen nüfusun çok fazla, bu yüzden modelin işlemediğini görüyoruz
Acaba model niye her zaman için işlemedi? Düşünelim Model, nüfus çok arttıktan sonra bozulmaya başladığına göre, nüfus fazlalığı ile alakalı, ve bizim modele almadığımız bir faktör var demektir
Maltezyen modeli, sadece doğal sebeplerden olan ölümü göz önüne almıştı Öteki ölüm sebepleri de önemli olabilir, mesela yiyecek darlığından olan ölümler, yeterli sağlık malzemesi olmaması, ilaç yokluğundan olan ölümler, bulaşıcı hastalılar ya da suç işleyen insanlar yüzünden ölenler olabilir
Eveeet, bu tür faktörler insanlar arasında etkileşim gerektirdiği ve belli kaynaklara olan yarışma sırasında vuku bulan ölme durumlerı olduğu için, modele, ikili ilişkilerin de dikkate alındığı bir şekilde genişletmemiz gerekiyor Yani, p sayısındaki bir nüfus için, p(p - 1) kadar ikili ilişki olduğunu düşünürsek, o zaman bu ikili ilişki ve yarış sonucundaki ölüm oranını şu şekilde modelleyebiliriz

k3 sabit değeri, yeni oranımız Böylece denklemimizi şu şekilde değiştirmemiz gerekiyor

Bu ikinci modele, lojistik modeli ismi veriliyor Lojistik bildiğimiz gibi, malları bir yerden bir yere ulaştırmak, kaynak idaresi gibi anlamlar çağrıştırıyor, zaten ikinci denklemin içindeki faktörlerden biri de, artık, kaynaklara olan erişimin oluşturduğu yarışma durumudur
Örnek 2
1790 yılındaki 393 milyonluk nüfusu temel alarak, ve 1840 yılında 1707 milyon ve 1890 yılında 6295 milyonluk nüfusu varsayarak, t'ye göre olan bir nüfus fonksiyonu bul
Çözüm: t=0 1790 senesi olduğuna göre, p0 = 393 demektir Şimdi a ve b parametrelerini bulmamız lazım p(50) = 1707, p(100) = 6295 oluyor

İki bilinmeyenli ve doğrusal olmayan bir denklem var elimizde Genelde böyle bir sistemi çözmek için yaklaşıksal (approximate) bir yöntem kullanmamız gerekecekti, Newton metodu gibi Fakat, t1 ve t2 zamanlarında olan değerleri bildiğimiz için, çözüm şöyle olacak

Bu denklemi 2 üstteki denkleme koyduğumuz zaman, bir takım (!) cebir işlemlerinden sonra, elimize şu değerler çıkacak a = 00304667 ve b = 00001214 Yani, elimizdeki veriler icin olan lojistik model şöyle olacak

Bu sonucu verilerden kontrol etmeyi size bırakıyorum
Sonuç
Bu yazıda hem model kurmanın ve türevsel denklemlerin yararlarını gördük Türevsel denklem kurarken düşünülmesi gereken, dp/dt görünce 'oran' düşünmek, yani akla 'değişim' getirmek Tabii daha türevleri daha detaylı anlayabilmek için (ispatı ile birlikte) limitlerin kuramı yararlı olur, fakat unutmayalım ki limitlerin analiz'in ispatı için yetişinceye kadar yüzyıllar geçmişti! Analiz'in tam ispatı daha gelmeden, mühendisler ve bilim adamları türevleri ve tümlevleri kullanıyorlardı
Analiz, dinamik olan sistemler için kullanılır, yani değişmekte olan sistemler için gereklidirler Analiz'in tarihinin fizik ile yakın alakası bundandır