Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği

Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği


BOOLEAN MATEMATİĞİ

İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından gerçekleştirildi BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin çıkış ifadelerinin giriş değişkenle ri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ulaşması için kullanılır Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır

DEĞİL,VE,VEYA,VEDEĞİL ve VEYADEĞİL kapılarının, BOOLEAN Matematiği ifadeleri


BOOLEAN matematiğinde temel kuralların ve kanunların uygulanması


BOOLEAN ifadelerinde DeMorgan teoreminin uygulanması


BOOLEAN ifadelerinden sayısal devrenin çizilmesi,bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilmesi


BOOLEAN ifadelerinin kanunlar ve kurallar yardımı ile sadeleştirilmesi


BOOLEAN ifadelerinin doğruluk tablolarından elde edilmesi ve BOOLEAN açılmları ve standart ifadeler


BOOLEAN açılımların birbirlerine dönüşümü


Sayısal işlemler


41 BOOLEAN İŞLEMLERİ

Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir Bu bölümde temel Boolean işlemleri ve bunların sayısal devrelerde nasıl kullanıldığı anlatılacaktır


411 BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLERİ

Boolean matematiğinde kullanılan değişkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilmiştir Sayısal olarak bir değişken veya fonksiyon iki değer alabilir Bu değerler 1 veya 0 olacaktır Değişkenlerin veya fonksiyonların aldığı bu değerler sayısal devrelerde eğer “1” ise YÜKSEK gerilim seviyesi , “0” ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir




A ve B girişlere uygulanan iki değişkeni gösterirse VE fonksiyonu Boolen ifadesi olarak ‘AB’ şeklinde yazılırken, VEYA fonksiyonu için ‘A+B’ şeklinde yazılacaktır


412 BOOLEAN TOPLAMA VE ÇARPMA


Boolean toplamaya ilişkin temel kurallar aşağıda verilmiştir





42 BOOLEAN KANUNLARI


Boolen matematiğinin üç temel kanunu: Yer değiştirme kanunu( Commutative Laws), Birleşme kanunu (Associative Laws) ve Dağılma Kanunu (Distributive Laws) adını alırlar

YER DEĞİŞTİRME KANUNU( COMMUTATİVE LAWS)


İki giriş değişkeni için Boolean toplamaya ait yer değiştirme kanunu aşağıdaki gibi yazılır





BİRLEŞME KANUNU (ASSOCİATİVE LAWS)


Boolean toplama işlemine ilişkin birleşme kanunu A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılır




DAĞILMA KANUNU (DISTRIBUTIVE LAW)


A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere dağılma kanunu aşağıdaki gibi yazılır




43 BOOLEAN MATEMATİĞİ KURALLARI




Kural 1- VEYA özdeşlikleri


a) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “0” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur


b) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “1” ise , A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “1” olur

c) Bir VEYA kapısının girişlerine değişkenin değili ile kendisi uygulanırsa çıkış
A’nın durumu ne olursa olsun daima “1” olur


d) Bir VEYA kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır
Eğer A=0 ise çıkış “0”, =1 ise çıkış “1” olur




Kural 2- VE özdeşlikleri

a) Bir VE kapısının girişlerinden biri “0” ise, A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış
daima “0”olur


b) Bir VE kapısının girişlerinden biri “1” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur


c) Bir VE kapısının girişlerine değişkenin değili(tümleyeni) ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “0” olur


d) Bir VE kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur



Kural 3- Çift tersleme kuralı


Bir Lojik ifadenin veya değişkenin iki defa değili alınırsa (terslenirse) lojik ifadenin veya değişkenin aslı elde edilir




Kural 4- Yutma kuralı


Bu kuralı dağılma kanunu ve VEYA, VE özdeşlikleri yardımı ile açıklayalım Eğer ifadeyi A ortak parantezine alırsak aşağıdaki dönüşüm sağlanmış olur






Kural 5





Kural 6


Tablo 44’de girişlerin durumuna bağlı olarak
( A + B) ( A + C ) ile A + BC
ifadelerinin durumları yazılmıştır Bu iki ifadenin eşitliği tablodan görülebilir
<!-- icon and title --> Boolean Matematiği
<!-- / icon and title --> <!-- message --> 44 DEMORGAN TEOREMLERİ

45 SAYISAL DEVRE TASARIMI
Boolean ifadesinden mantık kapıları arasında uygun bağlantılar yapılması ile sayısal devrenin elde edilmesi işlemine sayısal devre tasarımı adı verilir Bu bölümde verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrenin çizimi ve sayısal devrelerden Boolean ifadesinin elde edilmesi anlatılacaktır
451 BOOLEAN İFADESİNDEN SAYISAL DEVRELERİN ÇİZİLMESİ
Bu kısımda verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrelerin çizilmesi anlatılacaktır Devre tasarlanırken ilk önce Boolean ifadesinde kaç tane giriş değişken in olduğu, daha sonra bu değişkenlerin hangi Boolean işlemine uygulandığı bulunmalıdır Çizim sırasında Boolean matematiği işlem sırası takip edilmelidir İşlem sırası parantez ,DEĞİL,VE, VEYA şeklindedir







452 SAYISAL DEVREDEN BOOLEAN İFADESİNİN ELDE EDİLMESİ
Çizilmiş bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilebilmesi için ilk önce kapı girişlerine uygulanan değişkenler belirlenir Her kapı çıkışına ait Boolean ifadesi yazılır Bu işlem devredeki en son kapıya kadar sürdürülür



46 BOOLEAN İFADELERİNİN SADELEŞTİRİLMESİ
Çoğu zaman sayısal bir devre için elde edilen Boolean ifadesi uzun ve karmaşık olabilir Devreyi bu haliyle tasarlamak işlemin maliyetinin artmasını ve hata yapma olasılığını beraberinde getirmektedir Boolean teorem, kural ve kanunular yardımı ile ifadeler sadeleştirilerek daha az sayıda mantık kapısı ile sayısal devreler tasarlanabilir





47 BOOLEAN İFADELERİNİN ELDE EDİLMESİ
Bir doğruluk tablosu tasarımcı tarafından sayısal devrenin çalışmasına yönelik oluşturulmuş ve giriş değişkenlerinin durumuna bağlı olarak çıkışın ne olması gerektiği anlatan tablodur Tasarım aşamasında en önemli işlemlerden biri olan doğruluk tablosunu oluşturduktan sonra ifadenin mantık kapıları ve bu k apıların birbirleriyle olan bağlantılarının elde edilebilmesi için tablodan Boolea n ifadesinin elde edilmesi gerekmektedir Önceki kısımlarda bu ifadelerin sadeleştirilmesi ve devrelerin çizilmesi anlatıldı Bu bölümde Boolean ifadelerinin doğruluk tablosundan elde edilmesi konusu anlatılacaktır
471 BOOLEAN AÇILIMLARI VE STANDART FORMLAR
Boolean ifadeleri fonksiyonun doğruluk tablosundan elde edilen iki temel açılımdır Bu ifadeler eğer bir sadeleştirme işlemi uygulanmazsa az sayıda değişken içermesi ender olarak karşılaşılan bir durumdur Boolean ifadelerinin yazıldığı iki temel açılım minterimlerin toplamı ve maxterimlerin çarpımı olarak gösterilebilirler
4711 MİNTERİM VE MAXİTERİM




Üç değişkenin alabileceği sekiz (23) durum olduğundan 0’dan 7’ye kadar olan onluk sayıların ikilik karşılıkları, yazılabilecek durumları vermektedir Her bir değişken ikilik sayıda eğer “0” ise değili “1” ise değişkenin kendisi yazılarak bulunur Minimum terim Boolean ifadesini “1” yapan terimdirHer bir minimum terim mj şeklinde gösterilir Burada j indisi ilgili ikilik sayının onluk karşılığıdır
Benzer biçimde n kadar değişken için değişkenin kendisi ve değili olmak üzere
VEYA işlemini ile birleştirilmiş 2n kadar durum yazılabilir VEYA işlemi ile birleştirilmiş bu durumlar ise maksimum terimler veya standart toplama adını alırlar
Üç değişkene ait maksimum terimler Tablo 46’da verilmiştir Her maxterim üç değişkenin VEYA işlemi ile birleştirilmiş halinden elde edilir ve burada ikilik sayıda değişken 0 ise değişkenin kendisi, 1 ise değişkenin değili yazılarak bulunabilir

4712 MİNİTERİMLERİN TOPLAMI Bir önceki konuda n sayıda değişkene ait 2n sayıda minimum terim yazılabileceğini
ve bu minimum terimlerin fonksiyonu ‘1’ yapan terimler olduğu anlatılmıştı Boolean fonksiyonunu minterimlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun ‘1’ olduğu her durum için minimum terimler bulunur Bulunan bu minimum terimler VEYA’lanarak fonksiyon minterimlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılabilir













<!-- / message -->

4713 MAXİTERİMLERİN ÇARPIMI



Şeklinde fonksiyon verilebilir ∏ sembolü parantez içindeki maxiterimlere VE işleminin uygulanacağını gösterirken, çıkış ifadesini (Q) takip eden parantez değişkenleri (A,B,C) göstermektedir
Boolean fonksiyonların maxterimlerin çarpımı (toplamların çarpımı) olarak ifade edebilmek için fonksiyonu VEYA terimleri haline getirmek gerekir Bu işlem:
(A+B)(A+C) = A+BC

dağılma kanunu kullanılarak gerçekleştirilirDaha sonra her bir VEYA teriminde eksik değişken varsa , A eksik değişkeni göstermek üzere terim,




4714 BOOLEAN AÇILIMLARININ BİRBİRLERİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
İki temel Boolean açılımda kullanılan minterim ve maxterimler ifade ediliş bakımından birbirlerinin tümleyeni olduğu görülebilir Bunun nedeni fonksiyonu ‘1’ yapan terimlere ait minimum terimler bulunurken, fonksiyonu ‘0’ yapan minimum terimlerin tümleyeninin fonksiyonu ‘1’ yapmasıdır Örneğin :


Boolean açılımlarının birbirleri arasındaki dönüşümde;
I - Dönüşüm işlemine göre
a) Eğer minterimden maxterime dönüşüm isteniyorsa ∑ sembolü ile ∏ sembolü ile değiştirilir
b) Eğer maxterimden minterime dönüşüm isteniyorsa ∏ sembolü ile ∑ sembolü ile değiştirilir
II - Fonksiyonda sayılar seklinde verilen terimlerin yerlerine fonksiyonda bulunmayan sayıları yazılır
adımları takip edilebilir
Örnek :
Aşağıda minterimler cinsinden verilen fonksiyonu maxterimler cinsinden yazınız
Q(x,y,z,w)=∏(0,2,3,7,9,11,12,13,15)

Çözüm:
Dönüşüm işlemi maxterimden minterime olduğuna göre ∏sembolü ∑ sembolü ile yer değişecektir Fonksiyonda olmayan sayılar yazılarak dönüşüm işlemi tamamlanmış olur
Q(x,y,z,w)= ∑ (1,4,5,6,8,10,14)

4715 STANDART İFADELER
Boolean fonksiyonların elde etmenin bir diğer yolu standart formlardır Bu formda fonksiyonu oluşturan terimler değişkenlerin tamamı içermetebilir İki temel tip standart form vardır, çarpımların toplamı (Sum of Product-SOP) ve toplamların çarpımı (Product of Sum-POS)
Çarpımların toplamı formu, bir veya daha fazla değişkenden oluşan çarpım terimleri olarak adlandırılan VE terimlerinden oluşmuş Boolean ifadesi gösterimidirToplam, elde edilen VE terimlerinin VEYA ’landığını göstermektedirBu forma bir örnek aşağıda gösterilmiştir


472 DİĞER SAYISAL İŞLEMLER
n kadar değişkene sahip bir Boolean fonksiyonu için 2n olası durum yazılabildiği için,2n
n kadar değişken için yazılabilecek fonksiyon sayısı
n=2 olduğundan yazılabilecek fonksiyon sayısı 16’dır
2 kadardır İki değişken için X ve y gibi iki değişkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları Tablo 47’de verilmiştirTabloda F0’dan F15’e kadar olan 16 sütündan her birisi x ve y değişkenlerinden oluşan fonksiyonlardan birinin doğruluk tablosunu gösterm ektedir Fonksiyonlar F’in alabileceği 16 durumdan elde edilmiştir Fonksiyonların bazılarında işlemci sembolü vardır Örmeğin F1, Ve işlemine ilişkin doğruluk tablosunu vermektedir ve işlem sembolü “” olarak verilmiştir

Tablo 48 doğruluk tablosu verilen 16 fonksiyona ait Boolean ifadelerini göstermektedir Boolean ifadeleri en az sayıda değişken içerecek biçimde sadeleştirilmiştir Tabloda görülen fonksiyonların bir bölümü (VE,VEYA,DEĞİL vb) Boolean işlemcileri ile ifade edilebilmelerine rağmen diğer fonksiyonları n ( Özel VEYA, x değil ve y vb) ifade edilebilmeleri için özel işlem sembolü kullanılmıştır Özel-Veya işlemi dışındaki işlem sembolleri tasarımcılar tarafından pek kullanılmaz
Tablo 48’da verilen 16 fonksiyon üç ana gurupta incelenebilir:
I İki fonksiyon ‘0’ veya ‘1’ gibi bir sabit üretir
II Dört fonksiyon tümleyen ve transfer işlemini verir
III On fonksiyon VE,VEYA,VEDEĞİL,VEYADEĞİL,Özel-VEYA, Özel-VEYA DEĞİL, engelleme ve içerme olmak üzere sekiz işlemi gösterir


İkilik bir fonksiyon sadece ‘1’ veya ‘0’ değerlerini alabilir Tümleyen fonksiyonu ikilik değişkenlerden (x ,y) her birisinin tümleyenini(x’,y’) verir Girişin değişkenlerinden birine eşit olan fonksiyona transfer fonksiyonu denir Engeleme ve içerme işlemleri sayısal tasarımcılar tarafından kullanılsada bilgisayar mantığında nadiren kullanılr VE,VEYA,VE değil,VEYA değil,Özel-VEYA ve Özel-VEYA değil işlemleri sayısal sistemlerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır