Üçgenler

• ÜÇGEN

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir
AB] È[AC]È [BC] = ABC dir
Burada;
A, B, C noktaları üçgenin
köşeleri,
[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin
kenarlarıdır


BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır
|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c

uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç bölgeye ayırır ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

• ÜÇGEN ÇEŞiTLERi

1 Kenarlarına göre üçgen çeşitleri
a Çeşitkenar üçgen
Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir

b ikizkenar Üçgen
Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir

c Eşkenar Üçgen
Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir

2 Açılarına göre üçgenler
a Dar açılı üçgen
Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir

b Dik açılı üçgen
Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir
Dik üçgen olarak adlandırılır

c Geniş açılı üçgen
Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir
Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir

• ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir

1 Yükseklik
Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir

ha ® a kanarına ait yükseklik
hc ® c kenarına ait yükseklik
yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir


2 Açıortay
Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir
nA ® A köşesine ait iç açıortay
n'A ® A köşesine ait dış açıortay





3 Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir

|AD| = Va , |BE| = Vb olarak ifade edilir

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir

|BC| = a (hipotenüs)





ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
1 Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir
[AD // [BC] olduğundan,
iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur
a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir
İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir

2 Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir

a' + b' + c' = 360°

m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

3 Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir

[AB] // [CE olduğundan

m(ACD)=a+b

m(DAC) = m(A') = b + c
m(DBE) = m(B') = a + c
m(ECF) = m(C') = a + b



Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,

m(BDC) = a+b+c

4 iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denirABC üçgeninde:

lABl=lACl Ûm(B)=m(C)

Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir
Tepe açısına m(BAC) = a dersek
Taban açıları

5 Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir

ABC üçgeninde

|AB| = |BC| = |AC|
m(A) = m(B) = m(C) = 60°

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır

• ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

1 Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir



Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir (Çemberin yarıçapı)
2 Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir (Üç dış teğet çember vardır)

[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır

3 iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı yazılırsa

4 iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

5 Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı,

ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır

• Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer

6 Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir

Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir

• ÜÇGEN

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir
AB] È[AC]È [BC] = ABC dir
Burada;
A, B, C noktaları üçgenin
köşeleri,
[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin
kenarlarıdır


BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır
|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c
uzunluklarına üçgeninkenar uzunlukları deniriç açıların bütünleri olanaçılara dış açılar denir

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge,olmak üzere üç bölgeye ayırır ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

• ÜÇGEN ÇEŞiTLERi

1 Kenarlarına göre üçgen çeşitleri

a Çeşitkenar üçgen

Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir

b ikizkenar Üçgen

Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir

c Eşkenar Üçgen

Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir

2 Açılarına göre üçgenler

a Dar açılı üçgen

Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir

b Dik açılı üçgen

Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir

Dik üçgen olarak adlandırılır

c Geniş açılı üçgen

Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir

Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir

• ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir

1 Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir

ha ® a kanarına ait yükseklik

hc ® c kenarına ait yükseklik

yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir

2 Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir

nA ® A köşesine aitiç açıortay

n'A ® A köşesine aitdış açıortay

3 Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir
|AD| = Va , |BE| = Vb olarak ifade edilir

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir

|BC| = a (hipotenüs)

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1 Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir

[AD // [BC] olduğundan,

iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur

a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir

İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir

2 Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir
a' + b' + c' = 360°

m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

3 Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir

[AB] // [CE olduğundan

m(ACD)=a+b

m(DAC) = m(A') = b + c

m(DBE) = m(B') = a + c

m(ECF) = m(C') = a + b

Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,

m(BDC) = a+b+c

4 iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denirABC üçgeninde:

lABl=lACl Ûm(B)=m(C)

Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir

Tepe açısına m(BAC) = a dersek

Taban açıları

5 Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir
ABC üçgeninde

|AB| = |BC| = |AC|

m(A) = m(B) = m(C) = 60°

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır

• ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

1 Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir

Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir (Çemberin yarıçapı)

2 Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir (Üç dış teğet çember vardır)

[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır

3 iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı yazılırsa

4 iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

5 Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı,
ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır

• Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer

6 Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir
Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir

Üçgen


ÜÇGEN, düzlem üzerinde farklı konumlarda bulunan üç noktanın doğrularla birleştirilip sınırlanmasıyla elde edilen geometrik şekil Herhangi bir açısı 90°'den büyük ise geniş açılı üçgen; bir açısı 90° (dikaçı) ise dik üçgen; açıları dar ise daraçılı üçgen olarak adlandırılır Açılardan ikisi eşdeğerli, dolayısıyla iki kenarı eşdeğerli olan üçgene ikizkenar üçgen; açılarının üçü de eşdeğerli ve dolayısıyla kenarları da eşdeğerli olan üçgene eşkenar üçgen dertir Çizgisel ve sayısal hesaplamalarında açı, kenar, kenarortay, açı ortay ve yükseklik büyüklüklerinden yararlanılır Kenarları büyük çemberin üç yayı olan küresel üçgenden farkını belirtmek için doğrusal üçgen olarak da adlandırılır Üçgen alanının hesaplanmasında kullanılan en yalın bağıntı, üçgenin a kenarı ile bu kenarla ilişkili h yüksekliğinin yarısıdır: S= 1/2 (ah)

ÜÇGEN VE ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan kapalı şekle ÜÇGEN denir





Bir üçgen noktalar kümesidir ve içinde bulunduğu
düzlemi üç ayrı noktalar kümesine ayırır Bunlar;

a)Üçgenin İçinde Kalan Noktalar Kümesi
b)Üçgenin Kendisi
c)Üçgenin Dışında Kalan Noktalar Kümesi






Bir Üçgenin Temel Elemanları

1Üçgenin Kenarları:[BC],[AC],[AB]
doğru parçalarına “Üçgenin Kenarları” denir
Kenar uzunlukları karşılarındaki açıların
kenarlarıyla adlandırılırlar

2Üçgenin İç Açıları:Üçgenin iki kenarının
oluşturduğu her bir açı “Üçgenin İç Açısı” olarak
adlandırılır Bir üçgenin iç açıları toplamı 180º`dir

3Üçgenin Dış Açıları:Üçgenin iç açılarının
komşu bütünleri olan açılara
“Üçgenin Dış Açıları” denir Bir dış açı
kendisine komşu olmayan iki iç açının
toplamına eşittir Bir üçgenin iç açısıyla
dış açısının toplamı 180º`dir Bir üçgenin
dış açıları toplamı ise 360º`dir

Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları

1Üçgenin Yüksekliği:Üçgenin bir köşesinden
karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında
kalan doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği”
denir”H” ile gösterilir

2Üçgenin Kenar Ortayları:Üçgenin bir köşe
ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta
noktasını birleştiren doğru parçasına
“Üçgenin Kenar Ortayı” denir “V” ile
gösterilir







3Üçgenin Açı Ortayı:Üçgenin açılarını
iki eş açıya bölen doğruların,köşe ile
kenar arasında kalan doğru parçasına

“ÜÇGENİN AÇI ORTAYI” denir ” N”
ile gösterilir




Üçgenin Kenarları Arasındaki
Bağıntılar

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları
toplamı
üçüncü kenar uzunluğundan büyük;
iki kenar
uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda
küçüktür

Üçgenin Açıları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile dış açının
toplamı 180º`dir

Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine
komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir


Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları
Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende ölçüsü büyük olan kenar karşısında
büyük açı, küçük olan kenar karşısında
küçük kenar vardır

Üçgenin Çeşitleri

1Kenarlarına Göre Üçgenler
a)Çeşit Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının
hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen”
denir
b)İkiz Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının
iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen”
denir Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların
ölçüleri birbirine eşittir
c)Eşkenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi eşit

olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir Bir eşkenar
üçgenin iç açıları 60º `dir

2Açılarına Göre Üçgenler


a)Dar Açılı Üçgen:Üçgenin açılarından her birinin
ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir
b)Geniş Açılı Üçgen:Bir açısı geniş açı olan üçgene
“Geniş Açılı Üçgen” denir
c)Dik Açılı Üçgen:Açılarından birisi dik açı
olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir

Üçgenin Alanını ve Çevresini Bulma

Üçgenin çevresini bulabilmek için
kenarlar toplanır
Ç = a + b + c
Üçgenin alanını bulmak için yükseklikle
kenar çarpılır ve ikiye bölünür



h x a h x b h x c
A= --------- = --------- = --------
2 2 2

ÖZEL ÜÇGENLER

(7; 24; 25) dik üçgeni

(7; 24; 25) dik üçgeni

Dik üçgenlerin dik kenarları 7 ve 24 ile orantılı ise hipotenüs 25 ile orantılıdır

(45°; 45°; 90°) üçgeni

[b](45°; 45°; 90°) üçgeni Bu üçgen ikizkenar dik üçgendir Dik kenarlar birbirine eşittir
Hipotenüsün uzunluğu dik kenarların uzunluğunun2 katıdır



(30°; 60°; 90°) üçgeni

(30°; 60°; 90°) üçgeni
Eşkenar üçgenin yarısı olan bu üçgende, 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısı ve 60° nin karşısındaki kenarın uzunluğu 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğunun 3 katıdır



İkizkenar üçgende tepe noktasından çizilen yükseklik hem kenarortay hemde açıortaydır