Cebirin Temel Teoremi (D'alembert-Gauss Teoremi) Nedir?

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır
Teoremin açık bir ifadesi şöyledir:
Katsayıları karmaşık olan ve sabit olmayan tek değişkenli her polinomun en az bir (karmaşık) kökü vardır

Sonuç olarak, katsayıları tamsayı, rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar cismi olan f0b01fe0a1eec87c634584ac0694fb71png'de çarpanlarına ayrılabileceği görülebilir; yani daha doğru bir şekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir Polinom bu son anlatılan şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir şekilde yapılabilir Matematiksel bir dille şu ifade edilmektedir:
Eğer
271dc014ca241469b5c2cfac92f25b8fpng

ise ve
e998ee20c5e74349341b795530610befpng

n dereceli bir polinomsa,
443d5bef94c8ce4946f586893f33060fpng

eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin c8b82128432f75fbe455a4e9ca900e3fpng olacağı açıktır Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir
Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği cebir kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır
Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha bir çok teoremin kanıtında kullanılmaktadır

Teoremin dengi ifadeleri
Cebirin temel teoreminin birbirine denk olan değişik ifadeleri mevcuttur:
Bunlardan ilki yukarıda da verilen ifadedir: Sabit olmayan ve katsayıları karmaşık olan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır

Örneğin, 1+i karmaşık sayısı ctt1png polinomunun bir köküdür Bu halde, teorem P (X ) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır Katsayılarını bir F cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu F cismi içinde bir kökü varsa, F cismine cebirsel kapalı cisim adı verilir Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:
C cismi cebirsel kapalı bir cisimdir

Bu sonuç, aynı zamanda bir polinomun bölünmesi bağlamında da, yani karmaşık katsayılı çarpanlarının çarpımına eşit olması anlamında da ifade edilebilir:
Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir

Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı ctt2png şeklindeki polinomların an(X - α1)(X - αn) halinde de yazılabileceğini işaret eder Burada, 1'den k'ye kadar değişen her αk polinomun bir köküdür Burada, farklı k'ler için αk'ler eşit olabilir Bu durumda, αk'ye katlı kök adı verilir
Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:
Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır

Gerçel katsayılı indirgenmez polinomlar ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden diskriminantı kesin negatif olan polinomlardır (yani ctt3png halinde yazılabilen ve ctt4png koşulunu sağlayan polinomlar) Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir

Teoremin tarihi
Peter Rothe (Petrus Roth), 1608'de yayımlanan Arithmetica Philosophica adlı kitabında gerçel katsayılara sahip n'yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olabileceğini yazmıştır Albert Girard, 1629'da yayımlanan "L'invention nouvelle en l'Algèbre" adlı kitabında n'yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olduğunu yazmıştır Dahası, bu ifadesinin "denklem eksikli olmadıkça" geçerli olduğunu ifade etmiştir Ancak, ne demek istediğini detaylı bir şekilde açıkladığında, aslında ifade ettiği önermenin her zaman geçerli olduğuna inandığı ortaya çıkmaktadır
Mesela, x4 = 4x − 3 eksikli değildir; ancak yine de 4 kökü vardır:
1 (iki kere), −1 + i√2, ve −1 − i√2

Yukarıdaki dengi ifadelerde de ifade edildiği gibi cebirin temel teoremini izleyen ifadelerden biri de sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip bir polinomun derecesi bir veya 2 olan, gerçel katsayılı polinomların çarpımı şeklinde yazılabileceğidir Ancak, 1702'de Leibniz a'nın reel olduğu ve sıfıra eşit olmadığı x4 + a4 türündeki hiçbir polinomun bu şekilde yazılamadığını şöylemiştir Sonraları, Bernoulli yine aynı ifadeyi bu sefer x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4 polinomunu kastederek vermiştir Ancak, 1742'de Euler'den bahsi geçen polinomun
f2e38c88cae1f0bc338178a54ebf7952png

şeklinde yazılabildiğini belirten bir mektup almıştır (Burada α, 4 + 2√7 sayısının kareköküdür)
Euler ayrıca,[size="3">[color="]
olduğundan da bahsetmiştir[/size][size="3">[color="]

Jean le Rond D'Alembert teoremi kanıtlama ihtiyacı hisseden ilk matematikçiydi ve teoremi tamamen analitik amaçla kanıtlamaya çalışmıştı; ancak verdiği kanıt eksikti[/size]
Teoremi ilk kanıtlama girişimi 1746'da d'Alembert tarafından yapılmıştır; ancak kanıtı eksikti Kanıtın sorunlarından biri de Puiseux teoremi olarak da bilinen bir teoremi varsaymasıdır ki bu teorem bu kanıtın yapılmaya tarihten 100 yıl sonra kanıtlanmıştır Dahası, bu kanıt da cebirin temel teoremini varsayar Teoremi kanıtlama girişimi euler tarafından (1749'da), de Foncenex tarafından (1759'da), Lagrange tarafından (1795'de) yapılmıştır Bu dört girişimin hepsi de Girard'ın ifadesine dayanmaktadır
18'inci yüzyıl sonunda, köklerin varlığını varsaymayan iki kanıt yayınlandı Bunlardan biri James Wood tarafından verilmişti ve genel çerçevede cebirsel bir kanıttı; ancak zamanında pek de önemsenmedi Wood'un verdiği kanıtın aynı zamanda cebirsel bir açığı vardı Diğer kanıt ise Gauss tarafından 1799'da verilen kanıttı ve genel çerçevede geometrik bir kanıttı; ancak topolojik bir açığı vardı Bu açık, Alexander Ostrowski tarafından 1920'de kapatılmıştır Tamamen titizce hazılanmış bir kanıt Argand tarafından 1806'da verilmiştir ve ilk defa burada cebirin temel teoremi gerçel katsayılı polinomlardan değil de karmaşık katsayılı polinomlardan bahsederek ifade edilmiştir Gauss, daha sonra biri 1816'da ve diğeri de ilk verdiği kanıtın değişik bir hali olmak üzere 1849'da iki kanıt daha yayımlamıştır
Teoremi ve kanıtını içeren ilk kitap Cauchy'nin "Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique" (1821) adlı kitabıdır Argand'ın kanıtını içermektedir; ancak Argand'a herhangi bir atıf yapılmamıştır

Kanıtlar
Bu bölümde dahil edilen kanıtların neredeyse hepsi bir şekilde analizden en azından gerçel ve karmaşık fonksiyonların sürekliliğini kullanacak derecede faydalanmaktadır Bazı kanıtlar türevi ve hatta analitik fonksiyonları kullanmaktadır Bu yüzden, aslında cebirin temel teoreminin ne temel ne de tamamen cebirsel bir özelliği mevcuttur
Teoremin bazı kanıtları sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip polinomların karmaşık bir köke sahip olacağını kanıtlamaktadır Ancak, bu tür kanıtlar yine de teoremin en genel halini kanıtlamakta yeterlidir; çünkü p(z) karmaşık katsayılara sahip sabit olmayan bir polinomsa
9dd985ec632e339f048e2b005ea884e8png

polinomunun sadece gerçel katsayıları olacaktır Dahası, z eğer q(z) 'yi sıfır yapan bir sayıysa yani q(z) 'nin köküyse, o zaman ya z ya da z 'nin eşleniği p(z) 'nin kökü olacaktır
Teoremin cebirsel yöntemleri kullanmayan kanıtlarının büyük bir kısmı büyüme önsavı da denilen şu gerçeğe dayanmaktadır: baskın katsayısı 1 olan n 'yinci dereceden bir polinom |z| yeterince büyükken aslında zn gibi davranır Daha kesin bir ifade ise şöyle verilebilir:
Öyle bir R sayısı vardır ki |z| > R iken şu eşitsizlik sağlanır:490d39fd37361886e1295b4517e1abacpng

Karmaşık analizdeki kanıtlar

• Kanıt 1

|z| ≥ r iken |p(z)| > |p(0)| olacak şekilde orijin merkezli ve r yarıçaplı bir kapalı D diski alalım D tıkız olduğu için |p(z)| fonksiyonunun minimumum D üzerinde vardır ve dahası bu minimum D 'nin sınır üzerinde değildir Minimumun var olduğu nokta z0 ise, o zaman minimum mutlak değer ilkesi kullanılarak p(z0) = 0 elde edilir Başka bir deyişle, z0 p(z) 'nin bir sıfırıdır

• Kanıt 2

Kanıt 1'in biraz daha değiştirilmiş haliyle teorem yine kanıtlanabilir Kanıt minimum mutlak değer teoremi kullanmadan yapılabilir (bu tür kanıtların birçoğu Cauchy integral teoremini veya sonuçlarını kullanır); ancak bu kez yapılan şey minimum mutlak değer teoreminin polinomlar için basit adımlarla kanıtlanmasıdır Daha kesin bir ifadeyle, çelişki yoluyla kanıt yapmaya çalışırsak, ad12a0816d0b697e86ca1b6a2f91a0fepng olsun O zaman, p(z) 'yi z − z0'ın kuvvetleri halinde açıp şu şekilde yazabiliriz:54d848356961fed7772be0a8d3ce1f28png

Burada, cj'ler 035d740bf4de3128622f846217cc1fa2png polinomunun katsayılarıdır ve k de sabit terimden sonra sıfır olmayan ilk terimin indeksini temsil etmektedir Ama, z0 'a yeteri kadar yakın z'ler için bu polinomun asimptotik olarak ctt5png polinomuna benzer davrandığını gözlemleyebiliriz Başka bir deyişle,
560c6dbef9f780f0c0b3b6e6929a496fpng

ifadesi z0 noktasının belli bir komşuluğunda pozitif bir M sabiti tarafından sınırlandırılmıştır Bu yüzden, θ0 = (arg(a) + π − arg(ck)) / k tanımlarsak ve badb6122334e6156eeda4796386fe760png alırsak, o zaman yeteri kadar küçük pozitif r sayısı için üçgen eşitsizliğini de kullanarak
4e60f91b19acaa10fed3e82cc7cd4f04png

elde ederiz r, 0'a yeteri kadar yakın olduğunda, üstte |p(z)| için bulunan bu üst sınır |a| 'dan kesinlikle daha küçük olacaktır ve bu da z0 'ın tanımıyla çelişmektedir

• Kanıt 3

Bu bağlamda elde edilen bir başka kanıt ise, D'nin dışında|p(z)| > |p(0)| olduğunu gözlemlenmesine ve bu yüzden |p(z)| 'nin karmaşık düzlemdeki minimumunun z0 gerçekleşmesine dayanmaktadır |p(z0)| > 0 ise, o zaman 1/p karmaşık düzlemin tümünde sınırlı bir holomorf fonksiyon olur Karmaşık düzlemin tümünde sınırlı olan holomorf bir fonksiyonun sabit olması gerektiğini belirten Liouville teoremi kullanılarak 1/p 'nin sabit olduğu sonucuna ulaşılır Bu yüzden p de sabit olur Ama bu çelişkidir ve bu yüzden p(z0) = 0 olmalıdır

• Kanıt 4

Bir diğer kanıt ise arguman ilkesini kullanmaktadır Pozitif bir R gerçel sayısı seçelim öyle ki p(z) 'nin köklerinin mutlak değerinin her biri bu R sayısından küçük olsun Böyle bir R sayısı vardır; çünkü sabit olmayan ve derecesi n olan bir polinomun en fazla n tane sıfırı olduğunu biliyoruz r > R koşulunu sağlayan her r için[size="3">[color="]
sayısını ele alalım Burada, c(r) 0 merkezli, r yarıçaplı ve saatin tersi yöndeki çemberdir O zaman, arguman ilkesi kullanılarak bu sayının p(z) 'nin 0 merkezli ve r yarıçaplı açık daire içinde sahip olduğu sıfır sayısı N'ye eşit olduğu elde edilir r > R olduğu için bu aynı zamanda p(z) 'nin toplam sıfır sayısına eşittir Diğer taraftan, n/z 'nin c(r) boyunca alınan integralinin 2πi 'ye bölünmesiyle n sayısı elde edilir Ama, o zaman bu iki sayı arasındaki fark şöyle olur:[/size]e06bde5ce90bc36f54d4907095d86bb8png

Sağdaki integralin içinde bulunan rasyonel ifadenin payını derecesi en fazla n − 1 iken, paydanın derecesi ise n + 1 dir Bu sebeple, yukarıdaki ifadedeki farkı temsil eden sayı, r sonsuza giderken 0'a yaklaşmaktadır Ancak, bu sayı aynı zamanda N − n sayısına eşittir O zaman, N = n olmalıdır

• Kanıt 5

Bir başka kanıt ise doğrusal cebir ve Cauchy integral teoreminin birleştirilmesinden elde edilir Derecesi n > 0 olan her karmaşık polinomun bir tane sıfırı olduğunu göstermek için nxn lik her karmaşık matrisin karmaşık bir özdeğerinin olduğunu göstermek yeterlidir Çelişki yöntemiyle tartışalım:
A, nxn lik karmaşık bir kare matris olsun ve In de nxn lik birim matris olsun
66a2f8f327cdaf607e296e5f833fbc05png

resolvent fonksiyonunu ele alalım R(z) karmaşık düzlemde tanımlı ve matrislerin vektör uzayında değerler olan bir meromorf fonksiyondur A 'nın özdeğerleri, kesinlikle R(z) 'nin kutuplarıdır Varsayımımızdan dolayı A 'nın özdeğeri olmadığı için, o zaman R(z) tam fonksiyon olur ve Cauchy integral teoremi sayesinde
2495c6b758327a252c91dfc139dfe92cpng

elde ederiz Diğer taraftan, R(z) 'yi geometrik seri olarak açarsak
5459ab263beb67849c799dbd371c06efpng

elde ederiz Bu formül, yarıçapı ||A|| (A'nın operatör normu) olan kapalı diskin dışında geçerlidir Bu halde, r > ||A|| alalım O zaman,
[size="3">[color="]
elde edilir Burada sadece toplamdaki indeksin k = 0 olduğu durumda integralin değeri 0 olmaz Bu bir çelişkidir O yüzden, A'nın özdeğeri vardır[/size]