Simetri Yasaları

SİMETRİ YASALARI
Simetriler:
Simetri genel olarak; bir nesnenin, belli bir işlem sonucunda aynı kalması olarak tanımlanabilir Bu durumda o nesnenin, sözkonusu işlem altında simetrik olduğu söylenir Örneğin eğer bir nesneye herhangi bir şey yapmazsanız, nesne aynı kalır Yani 'hiçbir şey yapmak' işlemi altında, herşey simetriktir Fakat olası işlemler kümesinin sıfır elemanına karşı gelen bu işlem altındaki simetri, pek de ilginç değildir Halbuki bir silindirin şekli, ekseni etrafında döndürüldüğünde aynı kalır ve silindirin, 'ekseni etrafında dönme işlemi' altında simetrik olduğu söylenir Hem de bu durum, dönme açısının değeri ne olursa olsun böyledir Dolayısıyla, silindirin bu simetrisi, oldukça kapsamlı bir simetridir Öte yandan bir kürenin, 'merkezinden geçen herhangi bir eksen etrafında dönme' işlemi altında simetrik olduğunu 'biliyor' ve dolayısıyla, silindire göre 'daha da bir simetrik' olduğunu sezinliyoruz Çünkü silindir bu 'dönme simetrisi'ni tek bir eksen, halbuki küre, merkezinden geçen tüm eksenler etrafında sağlıyor Ancak küre dahi; 'dönme işlemi altında simetri'yi, merkezinden geçmeyen bir eksen etrafında sağlamıyor İşlem bu yüzden; basit şekilde 'dönme işlemi' olarak değil, ayrıntılı bir şekilde ve 'merkezden geçen herhangi bir eksen etrafında dönme işlemi' olarak tanımlanmak zorunda Benzer şekilde değişik işlemler tanımlayabilir ve nesnelerin bu işlemler altında aynı kalıp kalmadığına bakarak, yeni simetriler keşfedebiliriz



Eksen etrafında dönme; silindir veya kürenin, ya da daha genel olarak 'silindirsel veya küresel simetrik,' özel şekildeki nesnelerin sağladığı, fakat örneğin bir yamuğun sağlamadığı bir simetri Halbuki bazı simetriler var ki, bütün nesneler tarafından sağlanması beklenir Örneğin, bir silindiri veya küreyi, ya da herhangi bir başka nesneyi; uzaydaki herhangi bir A noktasından, herhangi bir başka B noktasına ötelediğimizde; A'daki çevre koşullarının aynısını B'de de inşa etmiş olmak kaydıyla; nesnenin aynı kalmasını bekleriz 'Uzayda öteleme işlemi altında simetri' olarak adlandırabileceğimiz bu özelliğin tanımındaki, 'çevre koşullarının aynısı' kısıtı önemli Çünkü çevre koşullarının değişebilmesi halinde, söz konusu simetri geçerliliğini yitirebilir Örneğin, eğer B civarındaki sıcaklık A'nın civarındakinden düşükse; nesne B noktasına ötelendiğinde büzüşerek, aynı olmaktan çıkar ve simetri bozulmuş görünür Öte yandan kural bu haliyle; tanımındaki 'herhangi' sözcüğünün kullanım bolluğundan da anlaşılacağı üzere, çok genel kapsamlı bir özellik oluşturuyor Örneğin, kuralın geçerli olabilmesi için, sadece bir veya birkaç nesne tarafından sağlanması yeterli değil; olası tüm nesneler tarafından sağlanmak zorunda Belli bir (A,B) nokta çifti arasındaki ötelemeler için sağlanmış olması da yetmiyor; olası tüm (A,B) nokta çiftleri için sağlanmak zorunda Peki ama, nasıl emin olabiliriz böylesine geniş kapsamlı bir kuralın geçerliliğinden?




Matematiksel ispata dayalı teoremlerle, deneysel kanıta dayalı yasalar
Örneğin, eğer üç boyutlu bir Öklid uzayı içerisinde çalışıyorsak, bu uzayın özelliklerinden ve kürenin tanımından hareketle, kürenin; merkezinden geçen herhangi bir eksen etrafında döndürülme veya farklı herhangi iki nokta arasında ötelenme işlemleri altında aynı kaldığını, kuramsal olarak ve 'sınama öncesinden' ('a priori') ispatlayabiliriz İspatlar ve sonra da işimizden çıkıp, gönül rahatlığıyla evimize gidebiliriz Çünkü artık 'biliyor'uzdur ki, o uzayda bütün küreler bu özelliği sağlayacaktır Ancak; eğer içinde çalıştığımız uzayı tanımıyorsak veya tanımlayamamışsak, yani özelliklerini tam olarak bilemiyorsak, kuramsal bir ispat imkansızlaşır Nitekim, biz, içinde yaşadığımız uzayın özelliklerini tam olarak bilemiyoruz Her ne kadar bize çoğu zaman bir Öklid uzayıymış gibi görünüyorsa da, öyle olmadığını, çünkü örneğin kütleçekiminin etkisi altında 'büküldüğü'nü biliyoruz Gerçi 'boş uzay' için belki bir ispat yapabiliriz Ama o zaman da; "boş bir uzay için yapılmış olan bir ispat, hiç de boş olmayanı için biraz hoş olmaz mı?" sorusu doğar
Kuramsal ispat mümkün olamıyorsa eğer, önerilen bir simetri özelliğinin geçerliliğinden veya genelde herhangi bir önerinin 'doğru'luğundan emin olabilmek için, geriye tek bir yol kalır: Önerinin 'gözlemle kanıtlanması' Bu durumda da karşımıza başka bir imkansızlık çıkar Eğer önerilen simetri, örneğin; "belli bir nesnenin, belli bir A noktasından, keza belli bir B noktasına ötelenmesi halinde aynı kalması" gibi, dar ve hatta bu durumda 'tek kapsamlı' bir öneri ise, kanıtlanması görece kolaydır Alırsınız o nesneyi, ötelersiniz A'dan B'ye ve gözlemlersiniz nesneye neler olup bittiğini Nesneyi, ötelemeden önce ve sonra ölçüp biçer, ya da video filmini çeker ve ilan edersiniz tüm dünyaya: "bakın bu böyle" diye

Sizi ilgilendirdiği kadarıyla öneriniz, 'kanıtlamayla ispat'lanmıştır Gerçi böylesine dar kapsamlı bir önerinin, kimin, nerede ve nasıl işine yarayacağı, ciddi bir soru işaretidir Fakat buna rağmen, birileri sizin gözlem sürecinizi kuşkuyla karşılayabilir ve önerinize katılmamak hakkına hala sahiptir Çünkü yaptığınız ölçümler doğru olsa dahi, çevre koşullarındaki bazı farkları; ölçümler üzerindeki etkileri birbirini götüren en az ikisini; gözden kaçırmış olabilirsiniz Örneğin, B civarındaki kütle yoğunluğu daha yüksektir ve uzay bu noktada, A'ya göre daha fazla bükülmüş, dolayısıyla kullandığınız metre B noktası civarında kısalmış olabilir Halbuki ötelediğiniz nesne, diyelim çok hafifti ve kütleçekiminden pek etkilenmedi Öte yandan A noktasının civarı B'ninkinden daha sıcaksa; nesne A'dan B'ye ötelendiğinde, sıcaklık düşüşü nedeniyle büzüşmekte, yani değişmektedir Bu durumda; büzüşmemiş olan nesnenin A'daki 'normal' metreyle yapılan ölçümleri, B'deki büzüşmüş halinin buradaki kısalmış metreyle yapılan ölçümleriyle aynı sonucu verir Fakat yine de, sözü daha fazla uzatmadan; sonlu sayıda olasılığı kapsayan önerilerin kanıtlanma yoluyla, bir bakıma 'sınamalardan sonra dönüp geriye bakış'la ('a posteriori') ispatı mümkündür Halbuki, "uzayda öteleme işlemi altında simetri' gibi bir kuralın kanıtlama yoluyla ispatı için, sözkonusu öteleme deneyinin; olası tüm nesneler için ve uzaydaki olası tüm nokta çiftleri arasında yapılması gerekir Bu ise 'dünyanın işi'dir: Kim nasıl yapacak bunu?

Orijine göre simetri veya yansıma:
Elimizde, yandaki şekilde görüldüğü gibi; birbirine dik x,y,z koordinat eksenlerine sahip bir Öklid uzayının bulunduğunu ve koordinat eksenlerinin yönlerini, genel kabule uygun olarak, sağ el kuralına göre seçmiş olduğumuzu düşünelim

Yani sağ elimizin, başparmak hariç diğer parmaklarını, x ekseninden y eksenine doğru kavislendirdirip, başparmağımızı dik hale getirdiğimizde, başparmak z ekseni yönünde işaret ediyor olsun Eğer bu uzaydaki herhangi bir (x,y,z) noktasını (-x,-y,-z) noktasına gönderirsek, (x,y,z) noktasının orijine göre simetriğini almış oluruz Eğer bu işlemi uzayın, koordinat eksenleri üzerindekiler de dahil olmak üzere tüm noktaları için yaparsak; (x,y,z) uzayının, içeriğiyle birlikte, orijine göre simetriğini elde ederiz Soldaki uzayı bir çuvalmış gibi düşünürsek, adeta; sonsuza doğru uzanan 'dibinden' tutup çekmiş ve tersyüz ya da içdış edip sağdaki uzayı öyle elde etmiş gibiyizdir (x,y,z) uzayı bir 'sağ el sistemi' iken, işlem sırasında koordinat eksenleri yön değiştirmiş olacağından, (x',y',z') uzayı 'sol elli' bir sistemdir Bu iki uzaydan herhangi birinin, diğerinin 'yansıma işlemi altında simetriği' veya kısaca 'yansıması' olduğu söylenir Ve nihayet; eğer bir nesne yansıma işlemi altında aynı kalıyorsa, o nesnenin 'yansıma işlemi altında simetrik' olduğu söylenir Örneğin, merkezi koordinat sisteminin merkezinde bulunan bir küre veya silindir böyle birer nesnedirler
Gelelim fizikteki simetri yasalarına Yani fizik yasalarının simetrisine Hatta daha doğrusu: Fizik 'yasa'larındaki simetrilerin 'yasa'larına Ama? Fizik yasaları öyle elle tutulur somut nesneler değil ki; bir tarafından tutup itekleyerek öteleyesiniz veya evirip çevirip döndürerek, işlem sonrasında aynı kalıp kalmadıklarına bakabilesiniz Nasıl yapılacak bu iş: N'olacak şimdi?

Fizik Yasalarında Simetri:
Doğadaki olaylar bildiğimiz gibi, dört tür etkileşim veya kuvvet tarafından yönetiliyor ve var olan kuramlar çerçevesinde, bu etkileşimlerin işleyişlerini betimleyen matematiksel ifadeler veya formüller var Kağıt üzerinde çalışarak ve bu formüllerin sözkonusu simetri işlemleri altında aynı kalıp kalmadığına bakarak, ilgili fizik yasalarının simetri özelliklerini incelemek mümkün Ancak, elimizdeki kuramların doğayı tam ve doğru bir şekilde betimlediğinden emin olmadığımız için, iş burada bitmiyor ve bir de doğrudan, doğa yasalarıyla ilgili son başvuru mercii olan doğanın kendisine başvurmak gerekiyor Yani; ilgi odağını oluşturan fizik yasasının yöneteceği olaylar dizisinden oluşan bir deney tasarlayıp, bu deneyin gerçekleştirilebileceği bir düzenek oluşturmak ve deneyi, sözkonusu simetri işleminin öncesinde ve sonrasında tekrarlayarak, sonuçların aynı olup olmadığına bakmak Örneğin uzayın herhangi bir A noktasında bir deney düzeneği kurmuş olalım Bu düzenek içerisinde, dört etkileşimden biri çalışıyor ve belli bazı deney sonuçlarına yol açıyor olsun Bu sonuçları kaydettikten sonra, düzeneği uzayın herhangi bir başka B noktasına 'kaydır'alım ve bu yeni nokta etrafında, A'daki çevre koşullarının aynısını inşa etmiş olalım Deneyin B'de tekrarlanması halinde, A'daki sonuçların aynısı elde edilmişse eğer, ilgili fizik yasasının 'uzayda öteleme işlemi altında değişmezliği' kanıtlanmş olur Öte yandan A noktasında yapmış olduğumuz deneyi, bu sefer aynı noktada ve fakat düzeneği herhangi bir açıyla döndürdükten sonra tekrarlayalım Düzeneği etkileyen çevre koşullarını da aynı açıyla döndürmemiz halinde yine aynı sonuçları elde ediyorsak eğer, bu sefer de sözkonusu fizik yasasının 'uzayda dönme işlemi altında değişmezliği' kanıtlanmış olur

Fizik yasalarının gerçekten de, uzayda öteleme ve döndürme işlemleri sonucunda aynı kalması beklenir Bunun nedeni; fizik yasalarını ilgilendirdiği kadarıyla, uzayın her yerde aynı (yani homojen ya da tekdüze) ve her yönde aynı, yani "izotropik" olduğu varsayımı Bir de tabii, fizik yasalarının her zaman aynı olup olmadığı, yani zamanla değişip değişmediği sorusu var Bu sorunun yanıtı da, 'bilebildiğimiz kadarıyla evet' Çünkü A noktasında yapmış olduğumuz deneyi, belli bir ?t süresi geçtikten sonra; aynı başlangıç koşullarıyla başlayarak ve aynı çevre koşulları altında tekrarlayacak olursak, aynı sonuçları elde etmemiz beklenir Yani fizik yasalarının, bir bakıma 'zaman üzerinde öteleme' işlemi altında da değişmemesi gerekiyor Hem zaten relativite kuramına göre zaman, içinde yaşadığımız uzay-zamanın dördüncü boyutunu oluşturduğuna göre; fizik yasalarının uzay boyutlarındaki öteleme işlemleri altında gösterdiği bu simetrinin, zaman boyutu için de geçerli olması şaşırtıcı olmasa gerek
Sanırım hepimize önsezisel olarak doğal görünen fizik yasalarıyla ilgili bu değişmezlik ilkelerine, bir başka deyişle; 'uzayda öteleme, dönme ve zamanda öteleme' simetrileri deniyor Fizik yasalarının sağlaması gereken bir diğer simetri, relativite kuramının temelini oluşturan 'Lorentz değişmezliği' Bu simetri kuralına göre, fizik yasalarının, birbirine göre sabit hızla seyahat eden referans sistemlerinin hepsinde aynı olması, aynı şekilde çalışması gerekiyor Sınanması için, bir deneyi yerde, ikincisini sabit hızla hareket eden bir araçta yapıp, sonuçların aynı olup olmadığına bakmak yeterli Halbuki, birbirine göre ivmelenen sistemler için böyle bir simetri yok Böyle iki sistemde yasalar farklı çalışacağından, bazı deneyler yapmak suretiyle, içinde bulunduğumuz sistemin hangi ivmeyle hız kazanmakta olduğunu belirlemek mümkün Fakat, sabit hızla hareket eden bir sistemin hızını, hangi fizik olayına başvurur veya hangi deneyi yaparsak yapalım, belirlemek mümkün değil Bu ve yukarıda sözü edilen simetrilerin 'herhangi bir deney,' dolayısıyla her deney için geçerli olması gerekiyor Şimdiye kadar yapılmış olan deneyler ve kaydedilmiş gözlemler çerçevesinde bildiğimiz kadarıyla, durum gerçekten de böyle Bir sonraki simetri biraz daha karışık: Zamanın tersinmesi altında simetri








A noktasındaki 'herhangi' bir deneyin an ve an sonuçlarını; t=0 anından başlayarak ve diyelim T gibi bir 'bitiş' anına kadar, örneğin videoyla üç boyutlu olarak kaydetmiş olalım Şimdi; düzeneği T bitiş anındaki koşullardan başlatıp, deneyi tersinden gerçekleştirmeye kalkarsak, fizik yasalarının bu girişime engel olmaması ve t=0 anına kadar aynı şekilde çalışarak, bir önceki deneyin kaydedilmiş olan sonuçlarını tersinden vermesi beklenir Yani ilk deneyin video kaydının tersinden oynatılmasıyla sergilenen gelişmeler zinciriniÖrneğin yaptığımız deneyde, sol ve sağ yukarıdan gelen iki atom birbirine yaklaşıp, görüş alanımızın orta kısmında çarpışıyor; sonra da birinci atom sol, ikinci atom da sağ aşağıya doğru yollarına devam ediyor olsun Bu çarpışmanın bir filmini çekip tersinden oynatacak olursak; sol ve sağ aşağıdan gelen iki atomun birbirine yaklaşarak, görüş alanımızın orta kısmında çarpıştıklarını ve birinci atomun sol, ikinci atomun da sağ yukarıya doğru yollarına devam ettiklerini görürdük Ve bu tersinden gösterilen filmi izleyen hiç kimse; "Aa, burada bir gariplik var! Bu olay fizik yasalarına aykırı!" diyemezdi

Fakat öte yandan, örneğin bir yumurtanın yere düşüp kırılarak dağıldığını, hepimiz defalarca görmüş; fakat bu olayın tersine, yani kırık ve dağınık bir yumurtanın kendiliğinden derlenip toparlanarak eski haline döndüğüne, herhangi birimiz şahit olmamışızdır Keza, bir kibritin çakılmasıyla açığa çıkan kimyasal enerji, ilk anda kibritin ucunda bir alev şeklinde 'derli toplu durur'ken, bir süre sonra tüm salona dağılmakta; fakat bu olayın tersine, yani salona dağılmış olan enerjinin derlenip toparlanarak, tekrar kibritin ucunda biriktiğine hiç rastlanmamaktadır Bu yüzden; yumurtanın kırılması veya kibritin çakılması gibi, tersi kendiliğinden yer almayan olaylara 'tersinmez' olaylar denir Ancak bir olayın tersinmez olması, tersinin asla gerçekleşemeyeceği anlamına gelmez Kırık bir yumurta 'mikrocerrahi' yöntemlerle, dışarıdan enerji harcanmak suretiyle tamir edilebileceği gibi, bizim hiçbir müdahalemiz olmaksızın kendiliğinden de eski haline gelebilir Çünkü, böyle bir olaya hiç rastlanmamış olması, o olayın 'imkansız' olduğuna değil, gerçekleşme olasılığının çok düşük olduğu anlamına gelir Yeterince uzun bir süre beklenildiği takdirde, kırık bir yumurtanın derlenip toparlanarak eski haline geldiği görülebilir Fizik yasaları buna engel değildir Bu olayın kendiliğinden gerçekleşme olasılığını sıfıra yakın derecede düşük kılan, termodinamiğin, sistemdeki molekül sayısının çokluğundan kaynaklanan ikinci yasasıdır: Yalıtılmış kapalı bir sistemde, düzensizliğin bir ölçüsü olan entropi artma eğilimindedir Bu yasa nedeniyledir ki, gözlemlediğimiz makroskopik olaylarda; zamanı, geçmişten geleceğe yönelik bir akış yönü varmış gibi gösteren bir okun varlığını hissederiz Halbuki mikrosopik olaylarda, zamanın akış yönü yoktur veya fizik yasaları etkilenmeksizin, zaman tersine çevrilebilir Nitekim, bir yumurtanın yere düşüp kırılması; yumurtanın kabuğunu oluşturan trilyonlarca atomun, zemin yüzeyini oluşturan keza trilyonlarca atomla çarpışarak, aralarındaki kimyasal bağların kırılmasının bir sonucudur Halbuki yukarıda değindiğimiz gibi, iki atomun çarpışma süreci zamanda tersinir bir olaydı İki atomun çarpışmasının zamanda tersinir olması, trilyonlarca böyle çarpışmadan oluşan bir olayın da öyle olmasını gerektirir Fizik yasaları, olayın tersini mümkün kılmakta; fakat termodinamiğin ikinci yasası, bu tersin gerçekleşmesi olasılığını, sıfıra yakın çok küçük bir değere sahip olmak zorunda bırakmaktadır Kırılma olayını bize tersinmez gösteren budur

Özetle; fizik yasalarının, zamanın tersinmesi halinde aynı kalması veya zamanda tersinme işlemi altında simetrik olması beklenebilir Çünkü en azından, doğa yasalarının en bilinenleri bu özelliğe sahip Buna kısaca 'T simetrisi' deniyor Bir sonraki simetri daha da karışık: Yansıma altında simetri veya P-simetrisiFizik yasalarının orijine göre simetri işlemi altındaki davranışlarına geçmeden önce, tanıdığımız bazı matematiksel unsurların bu işlem altında farklı davranabildiklerine işaret etmekte yarar var Örneğin yandaki şeklin sol tarafındaki (x,y,z) uzayında, konum ve momentumu temsil eden r ve p vektörleriyle, bunların rxp vektör çarpımından elde edilen açısal momentum vektörü görülüyor

Şeklin sağ tarafında ise, bu uzayın orijine göre, içeriğiyle birlikte yansıması var Dikkat edilecek olursa, yansıma işlemi sonucunda; (x,y,z) uzayındaki konum vektörü r'nin yönü değişiyor Fakat koordinat eksenleri de yön değiştirmiş olduğundan, işareti değişmiyor Bu bir bakıma 'gerçek' bir vektördür ve böyle vektörlere 'kutupsal' ('polar') vektör denir Halbuki aynı işlem altında, (x,y,z) uzayındaki açısal momentum vektörü L'nin yönü değişmiyor Fakat koordinat eksenleri yön değiştirmiş olduğundan, işareti değişiyor Bir bakıma 'sahte' olan böyle vektörlere de 'eksenel' vektör denir Biraz daha açalım





(x,y,z) uzayındaki konum vektörü r'nin, sağ veya sol el kuralı tercihinden bağımsız olarak bir yönü vardır Dolayısıyla r, yönlü veya kutuplu, yani kutupsal bir vektördür Konumun türevi olan hız (v) ve hızla kütlenin çarpımı olan momentum (p), keza yönlü veya kutuplu, yani kutupsal vektörlerdir Hızın türevi olan ivme (a) ve ivmeyle kütlenin çarpımı olan kuvvet (F) de öyle Halbuki açısal momentum L; konum r ile, momentum p'nin bileşenleri arasındaki bir ilişkiden kaynaklanır ve aslında düzlemsel olan bir niteliğin ölçüsüdür Bu aşamada vektör olup olmadığı dahi belli değildir Ancak hem r, hem de p'ye dik olduğu için, r ile p'nin tanımladığı düzleme dik bir doğrultuya sahiptir Doğrultusu olduğu için, biz L'yi bir vektörle ilişkilendirmek ister ve L=rxp ifadesiyle tanımlarız Bu ifade bize L'nin yattığı doğrultuyu, yani ekseni verir; fakat yönü hakkında bir şey söylemez, yön veremez Çünkü L'nin doğrultusu vardır, ama aslında yönü yoktur Bu yüzden sahte ve 'eksenel' bir vektördür zaten, 'yönlü' veya 'kutuplu' bir gerçek vektör değildir Ancak biz L'ye bir de yön vermek isteriz ve vektör çarpımını alırken, örneğin sağ el kuralını benimseyerek, olası iki yönden birini, sadece isteğe bağlı olarak seçeriz L ancak bundan sonradır ki, vektör L olur Halbuki sol el kuralını da tercih edebilir ve L'ye tam tersi bir yön de verebilirdik: Vektör çarpımıyla karşılaştığımız her bağlamda aynı el kuralını kullanmak kaydıyla!

Bir noktaya daha dikkat çekmekte yarar var Eğer sağ el kuralını benimsemişsek; ki fizikte evrensel kullanım halen böyle; (x,y,z) uzayında L=rxp'ye, sağ el kuralını kullanarak bir yön seçeriz L'nin (x',y',z') uzayındaki simetriği olan L'=(r'xp')'nin yönünü belirlerken ise, koordinat eksenleri yön değiştirip sol el sistemine dönüştüğünden, hem sol el kuralına geçmemiz ve hem de; L'nin simetri işlemi altında yön değiştirmediğini, dolayısıyla işaret değiştirdiğini göz önünde bulundurmamız gerekir Yani L'nin simetriğinin yönünü belirlemek için; r'xp' vektör çarpımını sol el kuralına göre yapmak ve sonra, işaret değişikliğini de hesaba katmış olmak için, başparmak yönünü tersine çevirmek gerekir Halbuki bu iki işlem; yani vektör çarpımını sol el kuralına göre alıp, sonra da sol başparmağın işaret ettiği yönü değiştirmek; vektör çarpımını sağ el kuralına göre almakla eşdeğerdir Dolayısıyla (x',y',z') uzayında çalışır ve L' için r'xp' vektör çarpımını alırken, sağ el kuralını kullanabiliriz Ki bu durumda; L'nin simetri işlemi altında, yön değiştirmediği için işaret değiştirmiş olduğu gerçeğini kendiliğinden hesaba katmış oluruz Nitekim, yukarıdaki şekilde; L'nin yönünü rxv, L' vektörününkini de r'xv' vektör çarpımlarından ve her ikisini de sağ el kuralıyla alarak bulmak mümkün

Gerçi üç boyutlu bir görüntünün orijine göre simetriğini akılda canlandırmak pek kolay değil Ancak yukarıda anlatılmaya çalışılanları açıklığa kavuşturmak için, bir aynaya başvurabiliriz Ayna düzlemi bildiğimiz gibi, orijine göre simetrinin en basit örneğini verir ve eğer koordinat eksenlerinden birisi kendisine dikse, sadece bu koordinat ekseninin yönünü değiştirir Aynı zamanda solu sağa, sağı da sola çevirir

Yandaki şeklin sol tarafında, bir sağ el koordinat sistemi (x,y,z) görülüyor Bu sistemin içinde; x eksenine paralel bir eksen etrafında, yani y-z düzlemine paralel bir düzlem üzerinde dönen ince bir disk var Disk bir yandan dönerken, bir yandan da, x ekseni yönünde H hızıyla ilerliyor

Diskin dönme yönü, sağ el kuralına göre, keza x ekseni yönünde Dolayısıyla, mavi renkli okla gösterilmiş olan açısal momentum L'nin yönü de bu yönde seçilmiş Ayrıca disk üzerindeki bir R noktasının, diskin merkezine göre konum vektörü r, hız vektörü ise v ile gösterilmiş Bunlar, yani r ile v 'kutupsal vektör'ler Ortadaki kesikli çizgi, x eksenine dik bir ayna düzlemini temsil ediyor Şeklin sağ tarafında ise, soldaki görüntünün bu aynadaki yansıması var Görüntüde, koordinat eksenlerinden y ile z aynı kalırken, sadece x ekseni yön değiştirmiş Bu durum, görüntüdeki (x',y,z) koordinat sistemini sol el sistemine çevirmiş Koordinat eksenlerinden y ile z aynı kaldığı için, y-z düzleminde yatan r ile v'nin görüntüleri, 'kutupsal vektör' olmalarına karşın, yön değiştirmemiş Diskin yatay hız vektörü H ise, x ekseni doğrultusunda yattığı ve bir 'kutupsal vektör' olduğu için, görüntüde yön değiştirmiş Ama x ekseni de yön değiştirdiğinden, işareti aynı kalmış Halbuki açısal momentum vektörü L; x ekseni doğrultusunda yatmasına karşın ve fakat 'eksenel vektör' olduğu için, görüntüde yön değiştirmemiş Ama x ekseni yön değiştirdiğinden, işareti değişmiş Buradaki can alıcı nokta, L ile H arasındaki bu davranış farkı


Disk eğer, yandaki şekilde görüldüğü gibi, y eksenine paralel bir eksen etrafında dönüyor ve bu eksen doğrultusunda ilerliyor olsa idi, benzer bir davranış farklılığı yine görülürdü Fakat bu sefer; hız vektörünün yönü yansıma sonucunda değişmezken, açısal momentumunki değişirdi

Bu kadar kafa karışıklığı yeter Gelelim şimdi, fizik yasalarının 'ayna simetrisi'ne




Boşlukta herhangi bir koordinat sistemi alalım ve içine herhangi bir düzenek yerleştirip bir fizik deneyi yapalım Deneyi yaparken de, sürecin üç boyutlu video kaydını almış ve elde ettiğimiz filmi D1 olarak işaretlemiş olalım Deneyin seyri tabii ki, zaman üzerinde birbirini izleyen bir dizi durumdan oluşur Ardıl durumlar, dört etkileşimden, düzenek içerisinde etkin olan bir veya birkaçının belirlediği sebep sonuç ilişkileriyle birbirine bağlı bulunmakta ve sürecin video kaydının kareleri; aslında üç boyutlu küpleri; bu üç boyutlu ardıl durumların üç boyutlu ardıl çekimlerinden oluşmaktadır Bir de; deneye başlamadan önce koordinat sisteminin merkezine, bulabilirsek eğer, öyle bir ayna koyalım ki; bize deneyin seyrinin orijine göre simetrik görüntülerini versin ve çekebilirsek eğer, bu görüntüleri de keza, üç boyutlu bir video kaydına almış olalım Bu ikinci filmimiz de, D1' olarak işaretlenmiş olsun (Ayna görünürde kolay, yarıçapı sıfıra giden küresel bir ayna; da çekim zor) Bu filmlerden birinin tüm karelerinin, daha doğrusu üç boyutlu küplerinin, orijine göre simetriklerini alarak yeni bir film oluşturursak, aslında diğer filmi elde etmiş oluruz Bunda ilginç bir taraf yok Çünkü iki film, D1 ile D1', zaten birbirinin 'ayna' simetriği

Şimdi bir de, elimizdeki deney düzeneğinin, orijine göre simetriğini alalım veya bu simetrik görüntünün fotoğrafını çekip, aynısını inşa edelim Bu simetrik düzenekte, bir önceki deneyin başlangıç koşullarının ayna simetriğini başlangıç koşulu olarak alıp, bir deney daha yapalım Bu deneyi de üç boyutlu video kaydına alalım Bu bizim üçüncü filmimiz olsun ve D2 olarak işaretlenmiş bulunsun Eğer fizik yasaları yansıma işlemi atlında simetrikseler, ikinci ve üçüncü filmlerin (D1' ve D2), birbirinin tıpatıp aynısı olması beklenir Yani beklentiye göre; bir düzenekle yapılan deneyin orijine göre simetrik görüntülerinden oluşan film (D1'), düzeneğin orijine göre simetriğiyle yapılan deneyin görüntülerinden oluşan filmin (D2) aynısı olmak zorundadır Çünkü fizik yasalarının, orijine göre simetri işlemi sonrasında da aynı şekilde çalışması, yani bu işlem altında değişmeyip aynı kalması beklenir Dolayısıyla, yukarıda sözü edilen filmlerin ayrı ayrı sergiledikleri ardıl görüntüler arasındaki sebep sonuç ilişkilerini, aynı fizik yasaları yönetir veya her üç filmin seyri de, aynı fizik yasaları tarafından yönetilir
Fizikçiler 1950'li yıllara kadar, doğa yasalarının temelde bu yansımalar, yani parite işlemleri altında değişmediğine inanıyordu 1956'da TD Lee ve CN Yang, bu kanaatin aslında vazgeçilmez bir ilkeden kaynaklanmadığını, sadece o zamana kadar gözlenmiş olan fiziksel olaylarda tersine rastlanmadığı için, adeta kutsal bir simetri ilkesi haline gelmiş olduğunu ileri sürdü Bu simetrinin zayıf etkileşimlerde bozulabileceğine işaretle, eğer hal gerçekten de böyle ise, bunun nasıl ortaya çıkartılabileceğine dair deneyler önerdiler CS Wu ve arkadaşlarının 1957 yılında yaptığı deneyler parite bozulmasını doğrulayınca, Lee ve Yang, aynı yıl genç yaşta Nobel Fizik Ödülü'nü paylaştılar

Aslında , fizik yasalarının uyması gereken simetriler, korunma ilkelerine karşılık gelir 20 Yüzyıl'ın başlarında Emmy Noether tarafından matematiksel olarak ispatlanmış bulunan ve kendi adıyla anılan teoreme göre; örneğin; 'uzayda öteleme ve dönme ile zamanda öteleme' işlemleri altındaki simetriler, sırasıyla; doğrusal ve açısal momentumla enerjinin korunumunu zorunlu kılarlar Bunun neden böyle olması gerektiği, çok basit olarak; 5 yüzyıl Grek düşünürlerinden Joannes Philoponus'un, Aristo'nun 'hareket' konusundaki tezlerini eleştirmek için kullandığı düşünce deneylerinden yararlanılarak anlaşılabilir Şöyle ki, bir cismin; her yerde aynı, yani homojen olduğu varsayılan boş bir uzayda sabit hızla hareket etmekte olduğunu düşünelim Bu cismin hızı herhangi bir noktada değişecek olursa, bu durum; o noktanın, uzayın diğer noktalarından farklı olduğu anlamına gelecek ve homojenlik varsayımı geçerliliğini yitirecektir Dolayısıyla hız değişemez ve momentum korunmak zorundadır Öte yandan; her yönde aynı, yani izotropik olduğu varsayılan boş bir uzayda, belli bir eksen etrafında sabit bir açısal hızla dönmekte olan bir cismin açısal hızı, herhangi bir açısal konumda değişecek olsa; o açısal konumun belirlediği yön, diğerleriyle aynı olmaktan çıkar ve izotropiklik varsayımı geçerliliğini yitirir Dolayısıyla; açısal hız aynı kalmak, açısal momentum da korunmak zorundadır Son olarak, hareket halindeki bir cismin toplam enerjisinin herhangi bir anda değişmesi, o anın diğerlerinden farklı olduğu anlamına gelir ve zaman üzerinde öteleme işlemi altında simetri ilkesi zedelenir Dolayısıyla cismin toplam enerjisi; zamanla değişemez, korunur
Görüldüğü gibi simetri ilkeleri, uzay-zamanın her yerde ve her yönde aynılığının doğal bir sonucu gibi duruyor Bu durum, klasik mekanik için olduğu kadar, kuantum mekaniği için de geçerli Ayrıca, kuantum mekaniksel dalga fonksiyonlarının sağladığı bir simetri daha var

Herhangi bir kuantum mekaniksel sistemi betimleyen dalga fonksiyonundan, sistemle ilgili fiziksel değişkenlerin değerlerinin eldesine yönelik olarak türetilen olasılıklar, dalga fonksiyonunun mutlak değerinin karesiyle verildiğinden; dalga fonksiyonunu ifadesiyle çarpmak sonucu değiştirmez Çünkü
eşitliğine yol açar
Öte yandan dalga fonksiyonunu ile çarpmak, dalga fonksiyonunun fazını kadar ötelemek anlamına geldiğinden; dalga fonksiyonu 'nin, faz ötelemesi işlemi altında değişmediği veya bu işlem altında simetrik olduğu söylenir Asıl varmak istediğimiz ve hiç de açık olmayan sonuç şu ki; kuantum mekaniğinde, faz ötelemesi altında simetri, elektrik yükünün korunumu ilkesine karşılık geliyor Ve elektrik yükü devreye girince, fizik yasalarının sağlaması beklenen bir başka simetri kuralı daha sahneye çıkıyor:
Elektrik yükünün 'eşlenikleştirilmesi' ('conjugation') altında simetri Bu 'yük eşlenikleştirme' işlemi; parçacığın sadece elektrik yükünün işaret değiştirmesi anlamına değil, karşıtının alınması anlamına geliyor
Bildiğimiz gibi her parçacığın bir karşıt parçacığı var Bir parçacıkla karşıtı; aynı kütle ve spine, fakat zıt işaretli paritelere ve elektrik yükü taşıyorlarsa eğer, zıt işaretli yüklere sahipler Bu tanımlama aslında yeterli olmakla beraber, bir hususu daha vurgulamakta yarar var: Karşıt parçacıkların bir araya gelmeleri halinde, birbirlerini yokederek enerjiye dönüşmeleri lazım Örneğin iki nötron aynı kütle ve spine sahip Nötür olduklarından dolayı da, yüklerinin zıt işaretli (+0 ve -0) olduğu söylenebilir Halbuki iki nötron bir araya geldiklerinde, birbirlerini yoketmez Dolayısıyla da birbirlerinin karşıt parçacığı değildirler Nitekim, iki aşağı ve bir yukarı kuarktan oluşan nötronun karşıt parçacığı, iki yukarı karşıt ve bir aşağı karşıt kuarktan oluşan parçacıktır Bu ikisi bir araya geldiklerinde, birbirini yokederek saf enerjiye dönüşür Öte yandan, iki yukarı ve bir aşağı kuarktan oluşan protonun karşıtı; iki yukarı karşıt ve bir aşağı karşıt kuarktan oluşan 'karşıt proton'dur Elektronun karşıtı ise pozitron

Bir sisteme 'yük eşlenikleştirmesi' işleminin uygulanması, sistemdeki tüm parçacıkların karşıtlarıyla değiştirilmesi anlamına geliyor Eğer bildiğimiz fizik yasaları her iki sistemi de yönetiyor, yani davranışlarını açıklayabiliyorsa, bu durumda fizik yasalarının sözkonusu işlem altında simetrik olduğu söylenir Buna da kısaca, 'elektrik yükü' anlamına gelen İngilizce sözcüğün ('charge') başharfine atfen, 'C simetrisi' deniyor
Şimdi gelelim; fizik yasalarına vücut veren dört tür etkileşime, olası simetrilerine ve kanıtlayıcı somut deneylere

Etkileşimlerin Simetri Deneyleri:
Kütleçekimi
Şiddeti çok düşük olan kütleçekimini incelemek için, büyük ölçekli iki cisim, örneğin yerküre ve bir bilya ile çalışmak kolaylık sağlar Simetri özelliklerini irdelemek için ise, basit bazı atış deneyleri yapmak yeterlidir Ancak bu deneylerin, havanın sürtünme kuvvetinin etkisini devre dışı bırakabilmek amacıyla, içi vakumlanmış kapalı bir hacim içerisinde yapılması gerekir Örneğin, bilya bir başlangıç noktasından, belli bir hızla dikey olarak yukarı doğru fırlatılmış olsun Bilya ilk hızıyla yükselirken, yerçekiminin etkisiyle yavaşlayacak, bir noktada yükselmesini durdurduktan sonra, aşağıya doğru hız kazanmaya başlayacaktır Fırlatma anından başlayarak filmini çekmeye başlamış ve bilya fırlatma yüksekliğine geri döndüğünde, çekimi durdurmuş olalım Bir süre sonra aynı süreci tekrarlayıp, ikinci bir film çekelim Bilyanın hareketi üzerinde, yerçekimi kuvvetinin sağladığı ivmeye ek olarak, dünyanın kendi ekseni ve de güneşin etrafında dönmesinden kaynaklanan 'merkezkaç ivmeleri' de var tabii Gerçi deneyi kutupta yapacak olursak, bunların birincisinden kurtulmuş oluruz Fakat bu etkiler, ayrıca hesaba katılarak, filmler 'düzeltilebilir' veya zaten görece zayıf oldularından, hem her iki deneyde de benzer rol oynadıklarından, gözardı dahi edilebilirler Bilyanın bu iki filmde, deney süresince izlemiş olduğu patikalar, zamanın fonksiyonu olarak birbirleriyle çakışıyorlarsa; yerküre ile bilya arasındaki kütleçekimi kuvvetinin işleyişi, her iki deney sürecinde de aynı şekilde çalışmış, yani zamanla değişmemiş demektir Öte yandan, iki deney arasındaki süre içerisinde, dünya üzerindeki konumumuz uzayda zaten yer değiştirmiş olduğundan, bu iki filmdeki patikaların çakışıyor olması; kütleçekiminin 'hem zamanda, hem de uzayda öteleme' işlemi altında simetri özelliği taşıdığının kanıtlanmış olduğu anlamına gelir Lorentz simetrisini kanıtlamak içinse, deneyi bir de hareketli bir araçta tekrarlamamız gerekir

Filmlerden birini sondan başa, tersine oynattığımızda aynı filmi elde eder ve "demek ki kütleçekimi zamanda tersinme altında da simetrikmiş" deriz Öte yandan filmin aynadaki görüntüsünü izlemek, olayların akışını değiştirmeyecek; bu da kütleçekiminin yansıma işlemi altındaki simetrikliğinin kanıtı anlamına gelecektir Dönme işlemi altında simetriyi kanıtlamak için, art arda dikey atışlar yerine; iki farklı yönde yatay atış deneyleri yapıp filmlerini çekmek ve filmlerdeki parabolik patikaların, aynı olduklarını ve zamanın fonksiyonu olarak da çakıştıklarını belirlemek yetecektir Yük eşlenikleştirmesi?
Dünyaya ve bilyaya yük eşlenikleştirmesi uygulamak, bünyelerindeki parçacıkların tümünü karşıtlarıyla değiştirmek anlamına gelir Parçacıklarla karşıtları aynı kütlelere sahip olduklarından, kütleler değişmeyecek; elde edilen karşıtdünya ve karşıtbilya ile yapılan dikey veya yatay atış deney çiftleri, yukarıda bahsedilen şekilde benzer sonuçlar verecektir Kısacası, kütleçekimi, eşlenikleştirme işlemi sonrasında da aynı şekilde işleyecek, yani bu işlem altında simetri sergileyecetirYalnız deney sırasında dikkatsizlik edip de, karşıtbilyayı elimizle fırlatmaya kalkışmamak gerekir Aksi halde elimizin, diyelim 10 gramlık karşıtbilyayla temasa gelen 10 gramlık kısmı, anında yok olur Buraya kadarı o kadar trajik değil: Bir de avucumuzda oluşan o delikten, yaklaşık 20 gramlık kütle eşdeğeri saf enerji, yani 50 ton kömürün yanmasıyla üretilen ısı miktarı açığa çıkacak, bizi ve yakın civarımızı kavuracaktır