Venn Diyagramları Üzerindeki Boole İlişkisi

Venn Diyagramları Üzerindeki Boole İlişkisi

Dördüncü örnekte A ve B kısmen örtüşmektedir Ama biz önce aşağıdaki çizgili alanın tamamına bakalım sonra sadece örtüşen bölgeye bakalım Yukarıdaki bölgelere aşağıdaki gibi bazı Boole ifadeleri atayalım Aşağıda solda A için kırmızı yatay taranmış bir alan vardır B için ise mavi dikey taranmış bir alan vardır

Çizilme stilinden bağımsız olarak her ikisinin toplam alanına bakarsak tüm çizili alanların toplamı yukarıda sağdaki A ve B nin kapsayıcı OR fonksiyonunu elde ederiz Boole ifadesi A+B şeklindedir Bu 45o açılı taranmış alanda gösterilmiştir Çizili alanın dışındaki herşey yukarıda gösterildiği gibi (A+B)-not a karşılık gelir Şimdi dördüncü örneğin sonraki bölümüne geçelim
Örtüşen dairelerden oluşan bir Venn diyagramına bakmanın diğer bir yolu sadece AB nin ortak olduğu aşağıda soldaki iki kez çizili bölüme bakmaktır ANDAB şeklinde aşağıda sağda gösterilmiştir İki kez çizili AB nin dışındaki herşeyin AB-not olduğuna dikkat edin ve fonksiyonuna karşılık gelen bu ortak alanın Boole ifadesi

Yukarıda A nın bazı üyelerinin (AB)' nin üyeleri olduğuna dikkat edin B nin bazı üyeleri (AB)' nin üyeleridir Fakat (AB)' nin hiçbir üyesi iki kez çizili AB alanı içinde değildir

Yukarıda soldaki ikinci örneği tekrar ettik Sizin daha önce çizdiğiniz beşinci örnek yukarıda sağda karşılaştırma için verilmiştir Daha sonra Karnaugh haritasında tamamen başka bir grup içinde olan üye veya üyeleri bulacağız
Şimdi tamamlayıcı değişken içeren Boole ifadesinin gelişimini aşağıda gösterelim

Örnek: (yukarıda)
A'B için bir Venn diyagramı gösterin (A-not AND B)
Çözüm:
Yukarı soldan başlarsak kırmızı yatay taranmış A' (A-not) ve yukarı sağda B vardır Sonra daha aşağıda solda AND A'B fonksiyonunu daha önceki iki bölgeyi örtüştürerek elde ederiz Çoğu kişi bunu örnekte sorulan sorunun cevabı olarak bulur Fakat açıkça göstermek için sadece iki kere taranmış olan A'B en sağda gösterilmiştir A'B ifadesi A' ve B nin kesiştiği bölgedir A'B nin dışında kalan temiz bölge (A'B)' dir ve bu bölge örnekteki sorunun bir parçası değildir
Şimdi buna benzer olarak OR Boole fonksiyonu ile birşey deneyelim
Örnek:
B'+A ifadesini bulunuz

Çözüm:
Yukarı sağda B' nün tamamlayıcısı olan B ile başlayalım Son olarak A yı B' nün üzerine bindiriyoruz Biz OR fonksiyonunu oluşturmak istediğimizden çizim stilinden bağımsız olarak bütün çizili alana bakmalıyız Sonuçta A+B' yukarı sağdaki bütün çizili alandır Bu alan aşağıda solda daha açık olarak tek çizili olarak gösterilmiştir

Örnek:
(A+B')' ifadesini bulunuz
Çözüm:
Yeşil 45o çizili A+B' alanı daha önceki örneğin sonucu idi Yukarı solda bulunan bu örnekteki (A+B')' ifadesine ulaşmak için A+B' nin tamamlayıcısını bulalım Bu alan yukarı solda (A+B')' ifadesine karşılık gelen çizilmemiş beyaz alandır Bizim sonucumuzla karşılaştırmak için, sağda bir önceki örneğin sonucu olan AB' iki kez çizilialanını tekrar ettiğimize dikkat edin Sırayla (A+B')' ve AB' ifadelerine karşılık gelen yukarı solda ve sağdaki alanlar denktir Bu DeMorgan teoremi ve çift olumsuzlama ile ispat edilebilir
Bu bizi bir sonuca ulaştırır; Venn diyagramları aslında hiçbir şeyi kanıtlamaz Geçerli bir ispat için Boole cebri gerekir Fakat Venn diyagramları doğrulama ve görsellik için kullanılabilir Biz bir Venn diyagramı ile DeMorgan teoremini doğrulayıp görsel olarak ifade ettik
Örnek:
A'+B' Boole ifadesi bir Venn diyagramında nasıl görünür?

Çözüm: yukarıdaki şekil
Yukarıda kırmızı yatay kırmızı taranmış A' ve mavi dikey taranmış B' ile başlayın Diyagramları gösterildiği gibi üst üste yerleştirin Kırmızı yatay taranmış A', diğer taranmış bölgenin üstüne yerleşmiş olduğunu görebiliriz Aynı zamanda B (B-true) dairesinin bir parçasını da doldurur, ama sadece A açık dairesine ortak olmayan B B' taramasına bakarsak, B ye ortak olmayan A açık dairesi bölgesini doldurduğunu görürüz Herhangi taramaya sahip bütün bölgeler A'+B' karşılık gelirBu merkezdeki beyaz açık boşluk dışındaki herşeydir açık dairesi bölgesini doldurur Eğer sadece mavi dikey
Örnek:
(A'+B')' Boole ifadesi Bir Venn diyagramında nasıl görünür?
Çözüm: yukarıdaki şekil,solda altta
Merkezdeki beyaz açık boşluğa baktığımızda A'+B' nin önceki çözümündeki (A'+B')'NOT olduğunu görürüz herşey
Örnek:
(A'+B') = AB olduğunu gösteriniz
Çözüm: aşağıdaki şekil, altta solda


Yukarı sağdaki diyagramda beyaz açık bölgenin (A'+B')' olduğunu göstermiştik Daha önceki bir örnekte AB nin birleşme bölgesinde iki kez taranmış bölgeyi gösterdik Burada solda ve ortada olan şekilleri tekrarlandı Bu iki Venn diyagramını karşılaştırırsak (A'+B')' açık bölgesininiki kez taranmış AB (A AND B) bölgesine eşit olduğunu görürüz (A'+B')'=AB eşitliğini yukarıda gösterildiği gibi DeMorgan teoremi ve ikili olumsuzlama ile ispat edebiliriz

Yukarıda A (kırmızı yatay), B (mavi dikey) ve C (yeşil 45o) bölgelerinden oluşan üç değişkenli bir Venn diyagramı gösterilmiştir Ortada ABC Boole ifadesini gösteren üç bölgenin örtüştüğüne dikkat edin Ayrıca çiçek yaprağı şeklinde daha büyük A ve BAB Boole ifadesine denk gelir Benzer şekilde A ve C örtüşerek AC Boole ifadesini oluşturur Ayrıca B ve C örtüşerek BC Boole ifadesini oluşturur nin örtüştüğü bölge
Yukarıda AND ifadelerinin tanımladığı bölgelerin büyüklüklerine bakarak, bölgelerin büyüklüklerinin AND ifadesindeki değişken sayısıyla değiştiğini görürüz

• A, 1-değişkenli büyük dairesel bölge
• AB, 2-değişkenli daha küçük çiçek yaprağı şeklindeki bölge
• ABC, 3-değişkenli en küçük bölge
• AND ifadesinde değişken sayısı arttıkça bölge küçülür