Karnaugh Haritaları, Doğruluk Çizelgeleri ve Boole İfadeleri

Karnaugh Haritaları, Doğruluk Çizelgeleri ve Boole İfadeleri
Bir haberleşme mühendisi olan Maurice Karnaugh, Karnaugh haritasını 1953 yılında Bell Labaratuarında sayısal mantık tabanlı telefon anahtarlama devreleri dizayn ederken geliştirdi
Venn diyagramları yardımıyla Karnaugh haritasını geliştirdiğimize göre kullanalım Karnaugh haritaları mantık fonksiyonlarını Boole cebrine göre daha hızlı ve kolayca indirger İndirgemek ile basitleştirmek ve kapı ve girdi sayısını azaltmak kastedilmektedir Mantığı,bileşenleri kaldırarak maliyetleri düşürmek için en düşük maliyete indirgemek isteriz En düşük maliyeti en az sayıdaki kapı ve kapı başına en az sayıdaki girdi olarak tanımlarız
Öğrendikten sonra, seçenek verildiğinde çoğu öğrenci mantık basitleştirmeyi Boole cebri yerine Karnaugh haritaları ile yapar

Yukarıda beş farklı madde gösteriyoruz, bunlar sıradan 2-girdili sayısal mantık fonksiyonunu göstermenin farklı yollarıdır İlki röle merdiven mantığı, sonra mantık kapıları, bir gerçeklik tablosu, bir Karnaugh haritası ve bir Boole denklemi Bunların hepsi de aynıdır İki A ve B girdisi duruma göre 0 veya 1, yüksek veya alçak, açık veya kapalı, Doğru veya Yanlış değerleri alabilir Bir çıktı üreten 22 = 4 girdi kombinasyonu vardır Bu bütün beş örnektekilere uygulanabilir
Bu dört adet çıktı bir röle merdiven mantığındaki bir lambada, kapı diyagramında bir mantık sondasında gözlenebilir Bu çıktılar bir doğruluk tablosuna veya bir Karnaugh haritasına kayıt edilebilir Karnaugh haritasını tekrar düzenlenmiş bir doğruluk tablosu olarak görebiliriz Boole denkleminin çıktısı Boole cebrinin kuralları ile hesaplanabilir ve doğruluk tablosuna veya Karnaugh haritasına transfer edilebilir Birbirine denk beş mantık tanımlamalarından hangisini kullanacağız? Verilen göreve en uygun olanını kullanmalıyız

Bir doğruluk tablosunun çıktıları bir Karnaugh haritası girdilerine bire-bir mantığına göre eşleşir Doğruluk tablosunun tepesinden başlarsak, A=0, B=0 girdileri ? çıktısını üretir Aynı ? çıktısının Karnaugh haritasında A=0, B=0 hücre adresinde, K-haritasında A=0 satırı ve B=0 sütununun kesiştiği üstte solda elde edildiğine dikkat edin AB=01, 10, 11 girdilerinin ürettiği ß, ?, ? doğruluk tablosu çıktıları ilgili K-haritası yerlerinde bulunur
Aşağıda, önceki dikdörtgen şeklindeki Venn diyagramlarına benzer Boole bölgeleri yardımıyla, 2-değişkenli K-haritasında komşu 2-hücreli bölgeleri gösteriyoruz


Aşağıda en soldaki K-haritasında ? ve ? hücreleri elips şeklinde komşulardır Önceki doğruluk tablosuna göre durum böyle değil Aralarında başka bir doğruluk tablosu girdisi (ß) var Bu bizi K-haritasını bir kare dizi şeklinde organize etme noktasına getiriyor, herhangi bir ortak Boole değişkeni olan hücreler bir desen oluşturacak ve dikkatimizi çekecek şekilde ve birbirine yakın olmalı ? ve ? hücreleri için B' Boole terimi ortaktır Bunu biliyoruz çünkü ? ve ? hücrelerinin üstündeki sütun için B=0 (aynı şekilde B' için) Bunu K-haritasının üstündeki kare Venn diyagramı ile kıyaslayın
Benzer bir akıl yürütme gösteriyor ki ß ve ? için B (B=1) Boole terimi ortaktır Sonra, ? ve ß için A' (A=0) Boole terimi ortaktır Son olarak, ? ve ? için A (A=1) boole terimi ortaktır Son iki haritayı ortadaki kare Venn diyagramı ile kıyaslayın
Özetle, biz hücreler arasında ortak Boole değişkenlerine bakıyoruz Karnaugh haritası, bu ortak noktaları görebileceğimiz şekilde düzenlenmiştir Şimdi bazı örneklere bakalım

Örnek:
Yukarıdaki doğruluk tablosunun içeriğini Karnaugh haritasına taşıyın

Çözüm:
Doğruluk tablosu iki tane 1 içerir K- haritası her ikisini içermelidir İlk 1 yukarıdaki doğruluk tablosunun 2satırına yerleştirilir

• doğruluk tablosunun AB adresine dikkat edin
• K-haritasında aynı adrese sahip hücreyi bulun
• o hücreye 1 yerleştirin

Bu süreci doğruluk tablosunun son sırasındaki 1 için tekrarlayın
Örnek:
Yukarıdaki problemdeki Karnaugh haritası için Boole ifadesini yazınız Çözüm aşağıdadır

Çözüm:
Bir hücrenin üstünde veya yanındaki komşu hücrelere bakın köşegen hücreler komşu hücre değildir Komşu hücreler bir veya fazla ortak Boole değişkenine sahip olmalıdır

• Sütundaki iki 1 i gruplandırın(daire içine alın)
• Bir grup için aynı olan değişken(ler)i yukarıda ve/veya yan tarafta bulun, bunu Boole sonucu olarak yazın Bizim örneğimizde B
• Bir hücre grubu için aynı olmayan değişken(ler)i ihmal edin Bizim örneğimizde A değişir, hem 1 hem de 0 olur, A Boole terimini ihmal edin
• 1 leri içereb hücrelerle ilişkili olmayan değişkenleri ihmal edin B' altında hiç 1 yok B' ihmal edilir
• Sonuç Out = B

Bunu görmek sağdaki Venn diyagramlarını özellikle B sütununu karşılaştırarak daha kolaydır
Örnek:
Aşağıdaki Karnaugh haritası için Boole ifadesini yazın

Çözüm: (yukarıda)

• Satırdaki iki 1'leri gruplandırın (daire içine alın)
• Grup için aynı olan değişken(ler)i bulun, Out = A'

Örnek:
Aşağıdaki doğruluk tablosu için çıktıları Karnaugh haritasına taşıyın sonra sonuç için Boole ifadesini yazın

Çözüm:
Doğruluk tablolarındaki 1leri K-haritasındaki ilgili yerlere taşıyın

• B=1 altındaki sütunda bulunan iki 1leri gruplandırın
• A=1 sağındaki satırda bulunan iki 1leri gruplandırın
• ilk grup için çarpım ifadesini = B yazın
• ikinci grup için çarpımı = A yazın
• Yukarıdaki iki ifadenin çarpımlarının toplamını Output = A+B şeklinde yazın

Ortadaki K-haritasının çözümü en basit veya en düşük maliyetli çözümdür Daha az tercih edilen bir çözüm en sağdadır İki adet 1leri gruplandırdıktan sonra, 1-hücreli bir grup oluşturma hatasını yaparız Bunun tercih edilmemesinin sebebi:

• Tek hücre AB' çarpım ifadesine sahiptir
• Karşılık gelen çözüm Output = AB' + B dir
• Bu en basit çözüm değildir

Bu tek 1 terimini dikkate almanın yolu bu 1 (B) sütun grubunda daha önceden dahil edilmiş olsa bile ortadaki K-haritasının alt satırında gösterildiği gibi sağındaki 1 ile ikili bir grup oluşturmaktır daha büyük gruplar oluşturmak için hücreleri tekrar kullanabiliriz Aslında, bu tercih edilir çünkü bizi daha basit çözüme ulaştırır
Şunu belirtmeliyiz ki, yukarıdaki her iki Output veya Yanlış Output çözümü de mantık olarak doğrudur İki devre de aynı çıktıyı verir Önceki devrenin en düşük maliyetli olması burada önemlidir
Örnek:
Aşağıdaki Boole ifadesi için Karnaugh haritasını doldurun, sonra sonuç için Boole ifadesini yazın

Çözüm: (yukarıda)
Boole ifadesi üç çarpım teriminden oluşur Her çarpım terimi için bir 1 girilir Fakat genelde çarpım terimi başına düşen 1 sayısı, K-haritasının büyüklüğü ile kıyaslandığında çarpımdaki değişken sayısı ile değişir Çarpım terimi 1 girilen hücrenin adresidir İlk çarpım terimi A'B haritada 01 hücresine karşılık gelir Bu hücreye 1 girilir Diğer iki çarpım terimleri toplam üç adet 1 olacak şekilde girilir
Sonra basitleştirilmiş sonucu, önceki doğruluk tablosu probleminde olduğu gibi gruplandırma ve çıkartma işlemi ile devam ediniz
Örnek:
Aşağıdaki mantık diyagramını sadeleştirin

Çözüm: (aşağıdaki şekil)

• Aşağıda gösterildiği gibi orijinal mantık diyagramı için Boole ifadesini yazın
• Çarpım terimlerini Karnaugh haritasına aktarın
• Önceki problemlerdeki gibi hücreleri gruplandırın
• Önceki problemlerdeki gibi gruplar için Boole ifadelerini yazın
• Sadeleştirilmiş mantık diyagramlarını çizin

Örnek:
Aşağıdaki mantık diyagramını sadeleştirin

Çözüm:

• Yukarıda gösterildiği gibi orijinal mantık diyagramı için Boole ifadesini yazın
• Çarpım terimlerini Karnaugh haritasına aktarın
• Grup oluşturmak mümkün değildir
• Sadeleştirme imkansızdır, olduğu gibi bırakın

Yukarıdaki diyagram için mantık sadeleştirme mümkün değildir Bu bazen olur Ne Karnaugh haritaları metodları ne de Boole cebri bu mantığı daha fazla sadeleştiremez Yukarıda bir Dışlayıcı-OR çizim sembolü gösteriyoruz; fakat bu bir mantıksal sadeleştirme değildir Sadece bir çizim diyagramını daha iyi gösterir Dışlayıcı-OR mantığını sadeleştirmek imkansız olduğu ve çokca kullanıldığı için, üreticiler tarafından temel entegre devresi (7486) olarak sunulur