Rasyonel Sayilarla Aritmetiksel İşlemler Kesir - Kesirler İçin Çözümlü Örnekler

RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir Örneğin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder

DENK KESİRLER

a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve ad = bc ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:

3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, , 3m/5m,

Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:

BAYAĞI KESİR

a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir Bayağı kesirler üçe ayrılır:

1 Basit Kesirler:

Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir Örneğin,

2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15,

şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir

2 Bileşik Kesirler:

Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir Örneğin,

3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12,

şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür

3 Tamsayılı Kesirler:

a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,

şeklinde gösterilen kesirlerdir Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir Örneğin,

kesri, tamsayılı bir kesirdir Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan,

şeklinde yazabiliriz

Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler

Örnek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?

Çözüm:

Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,

2x < 12 + 3

2x < 15

x < 15/2

bulunur x doğal sayı olduğuna göre, 15/2' den küçük doğal sayılar,

x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}

dir Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,

Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }

şeklinde gösterebiliriz Örneğin,

1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0,

sayıları, birer rasyonel sayıdır

Bazı Özellikler:

· Her doğal sayı, bir tamsayıdır

· Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir

· a/b = c/b ise, a=c dir

· a/b=c/d ise, ad=bc dir

· a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

1 TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:

Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir

Örnekler:

2 ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır Yani,

şeklinde yapılmalıdır İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,

(a/b)-1 = b/a

şeklinde gösterilir

Örnekler:

3 BÖLME İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır Bölme işleminin genel kuralı,

şeklindedir Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir

Örnekler:

Karışık Örnekler:

Örnek 1:

olduğuna göre,

toplamının a cinsinden değeri nedir?

Çözüm:

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,

olur Yani, a+b=12 bulunur Buradan, b=12-a çıkar

Örnek 2:

sayısı,

sayısının kaç katıdır?

Çözüm:

Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır Bu takdirde,

Örnek 3:

olduğuna göre, a kaçtır?

Çözüm:

Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,

yazabiliriz Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 105, a=50 bulunur

Örnek 4:

Çözüm:

yazılabilir Buradan,

4x + 5 = x2

x2-4x -5 = 0

Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,

(x-5)(x+1) = 0

yazabiliriz Böylece,

x=5 ile x=-1 bulunur Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır

Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur

Örnek 5:

işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Çözüm:

Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur Dolayısıyla,

yazabiliriz Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır

Not:

işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir

Örnek 6:

Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür