Bernoulli Dağilimi - Bernoulli Dağiliminin Olasilik Fonksiyonu Örnekler

1) BERNOULLI DAĞILIMI

Aynı koşullar altında tekrarlanan bir rassal deney veya gözlem sonuçları olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, geçerli-geçersiz gibi yalnız iki şekilde ele alınsın Bu tür deneylere Bernoulli deneyi denir Bu isim (1654-1705) Bernoulli’den sonra verilmiştir

Bernoulli Dağılımının Tanımı: x rasgele değişkeni için iki olanak varsa (olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, vb) x’e Bernoulli değişkeni denir

x rassal değişkeni, bir deneyin sonucu olumlu ise “1” değil ise “0” şeklinde tanımlandığında, bir deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p iken, x’in olasılık fonksiyonu;

Bu fonksiyona “Bernoulli dağılımı” ve x’e Bernoulli dağılmış bir rassal değişken denir Dağılımın “p” ile gösterilen tek parametresi vardır

Aşağıdaki deneyler Bernoulli rassal değişkenleri ile ilgilidir

1) Paranın atılması

2) İçinde M siyah, N beyaz top bulunan bir kavanozdan top çekilmesi

3) Kusurlu ve kusursuz parçaların bulunduğu bir kutudan bir parçanın çekilmesi

11)BERNOULLI DAĞILIMININ OLASILIK FONKSİYONU

P(x=1)=p

P(x=0)=1-p=q veya f(x)=P(X=x)=px(1-p)1-x, x=0,1

12)BERNOULLI DAĞILIMININ OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU OLDUĞUNUN İSPATI

Bernoulli dağılımı kesikli bir dağılımdır Olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için;

1) x R için f(x)>0

2) f(x)=1

Üstteki koşulları sağlamalıdır

1) x R için f(x)>0

P(x=0)=p

P(x=1)=1-p=q

2) f(x)= =p0(1-p)1-0 +p1(1-p)1-1

=q+p

=1’dir

Bernoulli dağılımı bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur

13) BERNOULLI DAĞILIMININ MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYONU

Mx(t) =

Mx(t) = (1-p)+ pet

14) BERNOULLI DAĞILIMININ SIFIR ETRAFINDAKİ MOMENTLERİ

Mx(t) = (1-p)+ pet

(sıfır etrafındaki birinci momenti)

(sıfır etrafındaki ikinci momenti)

(sıfır etrafındaki üçüncü momenti)

(sıfır etrafındaki dördüncü momenti)

15) BERNOULLI DAĞILIMININ ARİTMETİK ORTALAMA ETRAFINDAKİ MOMENTLERİ

• Aritmetik ortalama etrafındaki birinci moment

• Aritmetik ortalama etrafındaki ikinci moment

• Aritmetik ortalama etrafındaki üçüncü moment

• Aritmetik ortalama etrafındaki dördüncü moment

=0

=pet(1-pet)

= pet(2pet-1)(1-pet)

=pet(1-4pet + 6p2e2t - 3p3e3t)

Bernoulli dağılımının ve

16) BERNOULLİ DAĞILIMININ BEKLENEN DEĞERİ VE VARYANSI

E(x) = p

Var(x) = E(x2) - [E(x)]2 = p(1-p)

ÖRNEK: Bir rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

P(x)= x=0,1

şeklinde verilmiştir Bu değişkenin aritmetik ortalama, varyans ve sıfır etrafındaki üçüncü momenti bulunuz

ÇÖZÜM: P=3/7

M=E(x)=p=3/7

Var(x)=p(1-p)= =

E(x3)=

=pet =p

2) BİNOM DAĞILIMINA GİRİŞ

Deneyimizin sonuçlarından veya basit olaylarından her birini A olayının ortaya çıkması (elverişli hal) veya çıkmaması (elverişsiz hal) şeklinde tanımlarsak, deneyi n kere tekrar ettiğimiz zaman x değişkeni ile ifade ettiğimiz toplam elverişli hal sayısı bir binom değişkenidir Para atışı deneyinde yazı olayının ortaya çıkıp çıkmaması binom değişkenine bir örnek olarak gösterilebilir Bu deneyde elverişli hal olarak yazı veya turanın üste gelmesi kabul edilebilir Buna karşılık iki zarı bir arada atarak üste gelen yüzlerindeki sayıların toplamının x ile ifade ettiğimiz zaman x bir binom değişkeni değildir

Bir kutu içinde üç ayrı renkte top bulunuyorsa (kırmızı, sarı ve siyah) bunlar arasından bir top çekersek değişkenimiz 3 şıklı olacaktır Dolayısıyla binom değişkeni söz konusu değildir Ancak deneyimiz çekilen topun kırmızı olup olmadığını belirtmek ise x, n defa tekrarlanmış iadeli (bağımsız) deney içinde kırmızı top sayısını göstermek üzere bir binom değişkeni haline dönüştürülebilir Binom değişkeni ile ilgili problemlerde önemle belirtilmesi gereken nokta, tekrarlanan deneylerin her bakımdan birbirinin aynı olmaları yani ihtimallerin deneyden deneye değişmemeleri (bağımsız olmaları) gerektiğidir Bu son nokta seçimlerin iadeli olarak yapılmalarını öngörmektedir Yukarıdaki şartlara uyan değerler ilk olarak İsveçli matematikçi Jacob Bernoulli tarafında incelenerek ileri sürüldüğü için bu deneylere Bernoulli deneyleri denir

BİNOM DAĞILIMI

Bir Bernoulli deneyi aynı koşullar altında n defa tekrarlandığında, karşılaşılan olumlu sonuç sayısı ile ilgilenilirse Bernoulli dağılımının özel bir genellemesi karşımıza çıkar

1) Rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlanmıştır

2) Her deney sonucu için olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, sağlam-kusurlu ve benzeri şekilde yalnız iki durum söz konusudur

3) Bir deneyde olumlu sonuç elde etme olasılığı p, olumsuz sonuç elde etme olasılığı1-p=q olup, bu olasılıklar her deney için aynıdır

4) Her deneyin biri diğerinden bağımsızdır Yani bir deneyin sonucu diğerine bağlı değildir

5) Yapılan n deneyde karşılaşılan olumlu sonuç sayısı ile ilgilenilmektedir Bu özellikler sağlandığında bir bernoilli denemesinde rassal değişken;

x; n deneyde karşılaşılan olumlu sonuç sayısı olarak tanımlandığında, karşılaşılabilir olumlu sonuç 0,1,2,3, n olabileceğinden rassal değişkenin değer kümesi A={x|x=0,1,2,3, n }’dir n bağımsız denemede başarma sayısı x; 0,1,2,3, n olabilir Aşağıdaki diziyi düşünelim

Burada S başarıyı, F başarısızlığı gösterir Çarpım teoreminden yukarıdaki dizinin olasılığı, yani ilk n denemenin başarılı geri kalan n-x denemenin başarısız olma olasılığı; px(1-p)n-x’dir Denemeler bağımsız olduğundan diğer bir x “başarı” ve n-x “başarısızlık” dizisinin olasılığı da pxqn-x’dir Bir grupta x, diğerinde n-x sonuç bulunan sonucun farklı dizilerinin sayısı ’dir Bir defada bir olay elde edileceğinden bu olaylar ayrıktır Bu nedenle toplama teoreminden dolayı x rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu (n denemedeki başarı sayısı)

P(x)= pxqn-x x=0,1,2, n

Bir rassal x değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

p(x)=

şeklinde ise P(x)’e Binom dağılımı ve x’e Binom dağılımının rassal değişkeni denir

Binom dağılımında 0<p<1, (1-p)>0, x n ve >0 olduğuna göre;

1) x R için P(x)>0koşulunun sağlar

Ayrıca P(A)= [p+(1-p)n]=1’dir

P(x)>0 iken, olması P(x)<1 özelliği ile mümkündür Sonuç olarak;

1) x R için 0<P(x)<1

2)P(A)= olduğundan bir olasılık fonksiyonudur

21) BİNOM DAĞILIMININ ORTALAMASI VE VARYANSI

Aritmetik ortalaması;

=E(x)= eşitliğinde

n!=(n-1)!n

x!=(x-1)!x

px=px-1p yazılır

=E(x)=np

Burada

1

E(x)=np

Var(x)=E(x2)- [E(x)]2

E(x(x-1))=

E(x(x-1))=

x!=(x-2)!(x-1)x

n!=(n-2)!(n-1)n

px=px-2p2

E(x(x-1))=

olduğuna göre

E(x(x-1)) = n(n-1)p2

E(x2)- E(x) = E(x2- x) = E[x(x-1)]

E(x2) = n(n-1)p2+ E(x)

E(x2) = n2p2 - np2 + np

Var(x)= E(x2)- [E(x)]2

Var(x)= n2p2 - np2 + np - n2p2

Var(x)= np(1-p)

22)BİNOM DAĞILIMININ MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYONU

Binom dağılmış bir rassal değişken için moment çıkartan fonksiyon;

Mx(t) =

etxpx = (etp) x olup,

Mx(t) =

a = etp, b=(1-p) iken (a+b)n olduğundan,

* Mx(t)= [pet + (1-p)]n

* = n[pet + (1-p)]n-1 pet

* (t) = n(n-1)[pet + (1-p)]n-2 p2e2t + n[pet +(1-p)n-1]pet

(t) = (0) = n2p2 - np2 + np

23) MOMENTLERİNE GÖRE VARYANS

Var(x) = E[x2] - n2p2

Var(x)= n2p2 - np2 + np - n2p2 = np(1-p)

ORTALAMA =np

VARYANS Var(x)=npq =

STANDART SAPMA

ÇARPIKLIĞIN MOMENT KATSAYISI

BASIKLIĞIN MOMENT KATSAYISI

24)SİMETRİK BİNOM DAĞILIMI

Binom dağılımındaki p ve q ihtimalleri birbirine eşit ise (para atışında olduğu gibi p= , q= ) binom dağılımı simetrik olacaktır

ÖRNEK: Bir kutu içinde 3 siyah ve 3 sarı top vardır Bunlar arasından iadeli olarak 3 çekiliş yaparsak her çekiliş bir bernoulli deneyi olacaktır K ile sarı topun ortaya çıkış sayısını gösterirsek, k=0,1,2,3 olacak ve p=q=1/2 olduğundan ihtimal bölünmesi tablodaki gibi hesaplanacaktır

k sarı top binom pkqn-k her şıkkın ihtimali

sayısı katsayıları pkqn-k

0 1 (1/2)3=1/8 1/8=0125

1 3 1/8 3/8=0375

2 3 1/8 3/8=0375

3 1 1/8 1/8=0125

Aynı bölünmeyi ihtimalleri Y ekseninde ve k’ları (sarı top sayısı) X ekseninde belirtmek üzere şekildeki gibi gösterebiliriz

Simetrik bir binom dağılımı olan yukarıdaki örnekte, deneyimiz kutu içinden 3 defa top çekmek idi Bu deney kendi içinde 3 ayrı bernoulli deneyinden meydana gelmiştir Eğer 3 kere çekiş yapmak deneyini 1000 kere tekrarlarsak her şıkkın tekerrür sayısı, 1000 ile çarpılarak bulunacaktır

N(p+q)n

Bu durumda her ihtimalin 1000 ile çarpılması gerekecektir Bu örneğin ihtimalleri 0125; 0375; 0375; 0125 olduğundan mutlak frekanslar

125+375+375+125 = 1000

olacaktır

Öncede belirtildiği gibi binom dağılımı elverişli halin ortaya çıkış sayısını dikkate aldığından süreksiz bir dağılımdır Fakat n sonsuza yaklaşırken, n k sürekli bir değişken halini alırsa simetrik binom normal dağılıma yaklaşacaktır

25)ASİMETRİK BİNOM DAĞİLİMİ

p, q’ya eşit olmadığı hallerde p=1-q olmak üzere p veya q, 0 ile 1 arasında herhangi bir değeri temsil edebilirler Bu durumda dağılım simetrik değil asimetrik olacaktır Asimetrik binom dağılımının önemli tatbik sahalarından biri kalite kontrolüdür

ÖRNEK: p ile kusurlu, q ile kusursuz mal oranını gösterirsek 0,20’si kusurlu, 0,80’i kusursuz olduğu bilinen bir ana kütleden 5 parçalık bir örnek seçtiğimiz zaman örnek içinde 0,1,2,3,4 ve 5 adet kusurlu parça bulunması ihtimallerini hesaplayalım Hesaplar önceki örnekte olduğu gibi bir tablo halinde gösterilmiştir

Kusurlu parça pkq5-k ihtimaller P(k)

sayısı k

0 (2)0(8)5 = 0,32768

1 (2)1(8)4 = 0,40960

2 (2)2(8)3 = 0,20480

3 (2)3(8)2 = 0,05120

4 (2)4(8)1 = 0,00640

5 (2)5(8)0 = 0,00032

1,00000

Bölünme grafik halinde gösterildiği taktirde asimetrisi daha belirgin olarak ortaya çıkmaktadır

p ve q’nun olacakları değerlere yani ihtimallere göre binom dağılımının asimetrisi azalacak veya çoğalacaktır Buna göre eğer p’nin değeri q’dan küçükse, p<q durumunda asimetri artacak p’nin değeri q’ya yaklaşınca dağılım simetrik bir görünüm kazanacaktır

BİNOM DAĞILIMI VE NEGATİF BİNOM DAĞILIMI ARASINDAKİ İLİŞKİ

x, n ve p parametreleri ile binom dağılımına sahip olsun Yani x, n Bernoulli denemesindeki başarı sayısıdır Y, K ve p parametreleri ile negatif binom dağılımına sahip olsun Yani Y, K başarı elde etmek için gereken Bernoulli denemelerinin sayısıdır O halde aşağıdaki bağıntılar geçerlidir

a)P(Y n)=P(x K)

b)P(Y>n)=P(x<K)

a)İlk n denemede K yada daha çok başarı varsa , ilk K başarıyı elde etmek için n yada daha az deneme gerekmektedir

b)İlk n denemede K’dan az başarı varsa , K başarıyı elde etmek için n’den çok deneme gerekmektedir

BİNOM DAĞILIMINA YAKLAŞIM OLARAK NORMAL DAĞILIM YAKLAŞIMI

DE MOIVE- LAPLACE TEOREMİ

b(x; n, p) (x=0,1,2, , n)

binom dağılımını göz önüne alalım Binom dağılımının ortalama ve standart sapması;

= np ve =

olduğundan n’ nin büyük değerleri için ve np 5 olmak koşuluyla

b(x; n, p)

Yani yukarıdaki koşullar altında, binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır

Şu halde, binom dağılımına uyan x rasgele değişkeni için n büyük ve n 5 olmak koşuluyla

= np ve = alınarak P(a x b) = yazılabilir

Bu nedenle yukarıdaki koşullar altında, binom dağılımı için normal dağılım tabloları kullanılabilir

UYARI: Gerçekte binom dağılımındaki x rasgele değişkeni kesiklidir (Discrete) Bu nedenle, x rasgele değişkeni sürekliye çevrilerek işlem yapılır ve

P(a x b) = şeklinde uygulanır

ÖRNEK: Bir tavla zarı 180 defa atılıyor ve 3 gelme sayısı x rasgele değişkeni olarak tanımlanıyor

1) 25 ile 40 defa arasında (sınırlar dahil)

2) 42 defa veya daha fazla

3) 27 defadan daha az

4) 38 defadan fazla

3 gelme olasılıklarını hesaplayınız

ÇÖZÜM: Bu bir binom dağımıdır ve olasılıklar

b(x; n, p) = ile hesaplanır Fakat bu hesaplamalar oldukça uzundur Mesela (1)’ deki olasılık için

P(25 x 40) =

hesaplanmasını yapmak gerekir Oysa n oldukça büyük ve

np = 180 5 olduğundan

= np = 180 =30 ve = =

alınırsa, bu dağılıma Normal Dağılım Yaklaşımı uygulanabilir

1) P(25 x 40) =

= P(-11 Z 21)

Z nin bu değerine karşılık olan alanlar tablodan okunursa

0,3643+4821=0,8468

P(25 x 40) = % 85

2) P(x 42) = P

Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa

0,5000-,4893 = 0,0107

P(x 42) = % 1

3) P(x<27) =

Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa

P(x 42) = 0,5000-0,2580 % 24

4) P(x>38) =

Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa

P(x>38) = 0,5000-0,4554 % 4

ÖRNEK: Bir madeni para 15 defa atılıyor ve tura gelme sayısı x rasgele değişkeni olarak tanımlanıyor

P(7 x 9) olasılığı

1) Binom dağılımı ile

2) Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı ile hesaplayınız ve sonuçları karşılaştırınız

ÇÖZÜM: N=15(1/2)=7,5 ve

1) Binom dağılımı ile

P(7 x 9) =

P(7 x 9) = 0,1964+0,1964+0,1527=0,5455 % 55

2) P(7 x 9) = P(-0,52 x 1,03)

Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa

P(7 x 9) = 0,1985+0,3485 = 0,5470 % 55

Sonuçların birbirine oldukça yakın olduğu görülmektedir

BİNOM DAĞILIMINA YAKLAŞIM OLARAK POİSSON DAĞILIMI

Binom dağılımının olasılık fonksiyonunu göz önüne alalım

P(X=x) = f(x) = Pn(x)= x=0,1,2, n

kabul edelim ki n yeter derece büyük ama p küçüktür, öyle ki np büyük değildir Pn(x) binom olasılığını yaklaşık olarak hesaplamaya çalışalım =E(x)=np olduğunu daha önce görmüştük O halde

P(X=x)=

yazılabilir Kısaltmalardan sonra bu olasılık

P(X=x)=

P(X=x)=

olarak yazılır p küçükse, n büyükse, np büyük değilse aşağıdaki yaklaşık eşitlikler elde edilir

O halde

P(X=x) =

elde edilir Bu son eşitlikten görüldüğü gibi Pn(x) olasılıkları

ortalamalı Poisson dağılımının olasılıklarına yaklaşık olarak eşittir

n yeter derecede büyük (n 20) ve p 0,05 iken n denemedeki x başarı olasılığını Poisson dağılımı ile yaklaşık olarak hesaplayabiliriz Poisson formülünü kullanmak, binom formülünü kullanmaktan daha kolaydır

n=20 ve p=0,05 olan binom dağılımını düşünelim Binom dağılımı için =np=20(0,05) = 1 Binom dağılımını Poisson yaklaşımı kullanılırsa

P(X=x)= =

elde edilecektir Verilen değerler için binom ve poisson olasılıklarını karşılaştırmak üzere aşağıdaki tabloyu vereceğiz

Başarı sayısı x Binom olasılıkları Poisson olasılıkları

0 0,358 0,368

1 0,377 0,368

2 0,189 0,184

3 0,060 0,051

4 0,013 0,015

5 0,002 0,003

6 0,000 0,001

NOT: 6’ dan çok başarı elde edilebilir, fakat başarı olasılıkları 0,0005’ den küçüktür