Üçgende Metrik Bağıntılar

İKİZKENAR ÜÇGEN
İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır

1 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|

|BH| = |HC|

m(B) = m(C)

2 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|,

[AH] ^ [BC]

m(B) = m(C)

3 Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|

m(BAH) = m(HAC)

m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir

4 İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur

5 İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir

6 İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler

7 İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir

8 İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir

EŞKENAR ÜÇGEN


1 Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc

2 Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yükseklik Bu durumda eşkenar üçgenin alanı
yükseklik cinsinden alan değeri

Alan(ABC) =

3 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

4 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

DİK ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır şekilde, m(A) = 90°

[BC] kenarı hipotenüs

[AB] ve [AC] kenarları

dik kenarlardır

PİSAGOR BAĞINTISI


Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir ABC üçgeninde m(A) = 90°

a2=b2+c2

ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1 (3 - 4 - 5) Üçgeni

Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi

2 (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir

3 İkizkenar dik üçgen

ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2

m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende

hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır

4 (30° – 60° – 90°) Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde

ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)

üçgenleri elde edilir

|AB| = |AC| = a

|BH| = |HC| = pisagordan (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir 60° nin karşısındaki kenar,

30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır

5 (30° - 30° - 120°) Üçgeni (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur

6 (15° - 75° - 90°) Üçgeni (15° - 75° - 90°) üçgeninde

hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs

|BC| = 4h olur Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört

katıdır

ÖKLİT BAĞINTILARI


Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır

1 Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir

h2 = pk 2 b2 = ka c2 = pa 3 ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

ah =bc

* Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir

Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz