Cantor Köşegen Yöntemi

CANGOR KÖŞEGEN YÖNTEMİ


Cantor köşegen yöntemi,sonsuz kümelerin sayal sayılarının birbirinden farklı olabileceğini göstermekte kullanılan yöntemİlk olarak Alman Matematikçi Georg FLLP Cantor tarafından kullanılmıştır

İki kümenin öğeleri birbirleriyle bire-bir eşleştirilebiliyorsa,örneğin S ve T kümelerinin öğeleri,S den ve T den birer öğe alınarak sıralı çiftler oluşturulabiliyorve S nin her öğesi bu çiftlerin yalnızca bir tanesinde ikinci terim olarak bulunuyorsa,bu iki kümenin sayal sayıları (öğe sayıları) birbirine eşittirBu eşleme yöntemini sonsuz kümelerin karşılaştırılmasına sistematik biçimde ilk kez uygulayan matematikçi ,Cantor olmuşturEşleme yönteminin uygulanışını şu yalın örnekte kolayca görmek olanaklıdırAncak 20'ye kadar saymanın bilindiği ilkel bir kabilede ,çok sayıda koyunu olan iki kişiden hangisinin daha fazla koyuna sahip olduğunu anlamak için bunların koyunlarını ,sürülerinden birer koyun alarak bir yana ayırmak ve sonunda hangi sürünün daha önce biteceğini gözlemek yeterlidirBöyle bir eşleme uygulanarak,örneğin,pozitif tamsayılardan oluşan ( 1,2,3,4,) kümesi ile,pozitif tamsayıların karelerinden oluşan ( 1,4,9,16,) kümesinin sayal sayılarının birbirine eşit olduğu hemen görülebilirOysa ikinci küme birincinin bir alt kümesidirSonsuz kümelerin bu ilginç özelliğine,yani "parçanın "bütün"e eşit olabileceğine ilk kez dikkat çeken Galilei olmuştu(1638)Benzer biçimde örneğin pozitif tamsayılar kümesi ile pozitif çift sayılardan oluşan (2,4,6,8,)kümesinin ya da ( 0,1,-1,2,-2 ) kümesinin sayal sayılarının birbirine eşit olduğu gözlenebilirBu sonlu ötesi sayal sayıla Cantor alef-sıfır adını vermiş ve sayal sayısı alef-sıfır olan kümeleri sayılabilir sonsuz kümeler olarak adlandırılmıştırTamsayıların oranlarından oluşan rasyonel sayıların da sayılabilir olduğu bir başka deyişle rasyonel sayılar kümesinin sayal sayısının da alef-sıfıra eşit olduğu gösterilebilirBunun için,pozitif rasyonelleri ,m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere m/n biçiminde yazarak ve bunları m+n toplamına göre gruplayıp her gruptaki sayıları küçükten büyüğe doğru dizerek,

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1
--- --- --- --- --- -- - -- --- --- --- ---
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5

biçiminde sıralamak ve bu sayıları 1,2,3,4 pozitif tamsayıları ile eşleştirmek yeterlidir

Sayılamayan sonsuz kümelerin ,yani sayal sayısı alef-sıfırdan büyük olan kümelerin varlığını Cantor,günümüzde köşegen yöntemi adıyla bilinen yöntemi kullanarak göstermiştirCantor'un ispatladığı teoreme göre,bir S kümesinin P(S) olarak gösterilen güç kümesi,yani S kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan kümeS ye göre daha büyük bir sayal sayıya sahiptirN= (1,2,3,) pozitif tamsayılar kümesini göstermek üzere,P(N) kümesininkinden daha büyük olacağından,sonluötesi sayıların birden fazla (aslında sonsuz sayıda) olduğu anlaşılır


Kaynak;AnaBritannica cilt 7 sayfa 231 frmsinsinet için derlenmiştir

Gerçek sayılar kümesinin sayılamaz bir sonsuz küme olduğunu,bir başka deyişle sayal sayısının alef-sıfırdan büyük olduğunu köşegen yöntemiyle şöyle ispatlamak olanaklıdırRasyonel sayılar ile örneğin √2 gibi irrasyonel sayılardan oluşan gerçek sayılar,sonsuz sayıda basamağı olan ondalık kesirlerle gösterilebilirSayılar ekseninde O ile 1 arasında yer alan bütün noktaları ,O ile 1 arasındaki bütün sonsuz basamaklı ondalık kesirler temsil ederİki sütunlu bir tablo oluşturulduğunu düşünelimBirinci sütunda sırayla 1,2,3,4, pozitif tamsayıları vardırHer tamsayının karşısına,ikinci sütununa ,O ile 1 arasında olan ve sonsuz sayıda basamak içeren bir ondalık kesir (örn0,18317984) yazılmıştırTabloda sonsuz sayıda satır vardırBu durumda her gerçek sayının bir pozitif tamsayıya karşılık geldiği sanılabilirse de,durum böyle değildirÇünkü,tablonun ikinci sütunundaki sayılardan şu yöntemle elde edilebilecek yeni bir sayı tabloda yokturBirinci basamağı,tabloda birinci satırda bulunan kesrin birinci basamağından ikinci basamağı ikinci satırdaki kesrin ikinci basamağından ,,n'ci basamağın'inci satırdaki kesrin n'inci basamağından , farklı olan bir kesir oluşturulduğunda,bu yeni kesirin tablodaki kesirlerden hiçbirine eşit olamayacağı görülürDemek ki tablonun ikinci sütununa eklenecek başka gerçek sayılar vardırBuradan da ,0 ile 1 arasındaki gerçek sayıların,N= (1,2,3,) kümesindeki sayılardan daha çok olduğu anlaşılırÖyleyse ,gerçek sayılar kümesinin c ile gösterilen sayal sayısı alef-sıfırdan büyüktürEşleme yöntemiyle uzunluğu ne olursa olsun bir doğru parçası üzerindeki noktaların sayısının sonsuz bir doğru üzerindeki herhangi bir düzlem parçasındaki,herhangi bir hacimdeki ,boyutu ne olursa olsun tüm uzaydaki noktaların sayılarının birbirlerine (ve c sayısına) eşit olduğu kolaylıkla kanıtlanabilirBuna karşılık,örneğin ,gerçek değişkenli fonksiyonların sayısının ,c 'den daha büyük bir sonlu ötesi sayı olduğu gene köşegen yöntemiyle gösterilebilir

Alef-sıfırla c arasında başka bir sonluötesi sayı bulunup bulunmadığı ,matematikçilerin Cantor'dan bu yana sürekli ilgisini çeken bir problem olmuştur1938'de Avusturya asıllı ABD'li matematikçi Kurt Gödel böyle bir sayının bulunmadığı varsayımının ,1963'te ABD'de Stanford Üniversitesinden Paul JCohen böyle bir sayının bulunduğu varsayımının,aksiyomatik kümeler kuramıyla çelişmeyeceğini göstermişler ve bu çalışmalardan Cantorcu olmayan kümeler kuramı geliştirilmiştirAyrıca baksonluötesi sayılır




Kaynak;AnaBritannica cilt 7 sayfa 231 frmsinsinet için derlenmiştir