Genel Mezopotamya

genel mezopotamya


Mezopotamya (Aram Nahrin), bugün Irak, doğu Suriye ve Güneydoğu Anadolu'yu (Türkiye) kapsayan coğrafi bölgeyi tarif eden bir isimdir Mezopotamya Eski Yunanca'da "iki nehir arasındaki yer" demektir; μέσος ("arasında") ve πόταμος ("nehir") Kastedilen iki nehir Fırat ile Dicle'dir, zira bölge bu iki nehrin arasında kalır

Verimli toprakları ve uygun iklim şartları nedeniyle çok eski zamanlardan beri yoğun göçe sahne olmuş Mezopotamya, birçok farklı kültür ve halkın karıştığı bir bölge olmuştur ve bu nedenle de medeni gelişime sahne olmuştur Bilinen ilk okur yazar topluluklara ev sahipliği yapmış bölgede birçok medeniyet gelişmiştir ve bu sebeplerden Medeniyet(ler) Beşiği olarak da anılmıştır Hiçbir zaman Mezopotamya olarak anılan belirli bir siyasi mevcudiyet olmadığı gibi sınırları belirli bir bölge değildir Basit anlamda Yunan tarihçileri bu bölgeyi anmak için bu ismi anmışlardır

Bilim ve Teknik

Algebra, cebir’den türedi!

“Mezopotamya matematiğinin çok gelişmiş bir dalı da cebirdir Mezopotamyalılar cebirin kurucusu olarak kabul edilir Cebirlerinin çok gelişmiş olması rakam sistemlerinin ileri durumda olmasına bağlanabilir

Bazı araştırıcılara göre cebir kelimesi Mezopotamya menşelidir Bu kelime 9 yüzyıl başlarında İslâm Dünyası’nda el-cebr ve’l-mukâbele şeklinde kullanılmış, Hârezmî’nin El-Kitâbü’l-Muhtasar fî Hesâbi’l-Cebr ve’l-Mukâbele adlı kitabının 12 yüzyılda Latince’ye çevrilmesiyle Avrupa’da bu kelime (el-cebr) öğrenilmiş ve bu matematik dalının adı olarak (algebra, algèbre) yerleşmiştir

Birinci derece denklemlerinin çözümü Mezopotamyalılar için bir problem teşkil etmiyordu Onların cebirde en çok üzerinde durdukları ve maharet sahibi oldukları konu ikinci derece denklemlerinin çözümleriydi İkinciden yüksek dereceli denklemlerin ikinci dereceye indirgenebilenlerini çözümleyebiliyorlardı Derecenin indirilmesi için yardımcı bilinmeyenler kullanmışlardır

İkinci derece denklemleri dokuz grup halinde sınıflandırılmış ve her tip için ayrı çözüm formülleri verilmişti Karşılaşılan problemlerin cebirsel ifadeleri önce bu belirli tiplere dönüştürülmekte, sonra belli çözüm formüllerine göre otomatik olarak çözüm bulunmaktaydı
Tabletlerde sembol ve genel formüllerle karşılaşılmamakla birlikte çözümler daima belli tiplerin çözüm formüllerine göre elde edildiğinden, bu çözümlerde üstü kapalı biçimde genel çözüm ve formül fikrinin bulunduğu düşünülebilir

Problemlerin pratik mahiyet taşımayıp daha çok öğrenciler için düzenlenmiş okul metinleri olduğu anlaşılmaktadır Alan ve uzunluk toplamları ve işçi sayısı ile iş günleri sayısı toplamı gibi örnekler için, bu problemlerin pratik değer taşımalarının mümkün de olmadığı görülmektedir Bu durum, Mezopotamya biliminin, özel olarak da matematiğinin sadece pratik ihtiyaçlara yönelik olduğu şeklindeki inançların gerçek durumu yansıtmadığını düşündürmektedir
Mezopotamyalılar’ın dokuz tip halinde ele aldıkları ikinci derece denklemleri ve çözüm formülleri şöyledir:

Bu dokuz denklem tipi içinde en çok kullanılan temel denklem tipleri 1 ve 2 tiplerdir Karşılaşılan denklemler genellikle bu iki tipe dönüştürülüp, ondan sonra çözüm formülleri uygulanarak adeta otomatik bir biçimde çözümleniyordu 1tipi tek bilinmeyenli denklem haline getirelim X+y=b’den y=b-x bulunur

Bu y değeri xy=c çarpımında yerine konursa, x(b-x)=c, bx-x2=c denklemi elde edilir Eksi işareti kaldırılınca da x2+c=bx bulunur Aynı tip y bilinmeyeni cinsinden tek bilinmeyenli denkleme dönüştürecek olursak, x=b-y olduğundan, y(b-y)=c, buradan da by-y2=c ve y2+c=by denklemi bulunur

Bu denklem, daha önce bulunan x2+c=bx denkleminin aynıdır Yani, x+y=b, xy=c denklem sisteminde x ve y için aynı denklemler elde edilmektedir Bunlar ise 9 tipe tekabül etmektedir
Şimdi de 2tipi tek bilinmeyenli denklem haline getirirsek, x-y=b'den y=x-b bulunur, xy=c çarpımında bu y değeri yerine konursa x(x-b)=c'den x2-bx=c ve buradan x2=bx+c denklemi bulunur Bu denklem ise dokuz tipin 8incisine tekabül etmektedir
x-y=b, xy=c denklem çiftinin oluşturduğu aynı 2tip y cinsinden ifade edilmek istenirse, x-y=b’den x=b+y ve y(y+b)=c’den y2+by=c denklemi elde edilir Bu ise 7tiptir
Görüldüğü gibi 1 ve 2denklem tipleri 7, 8 ve 9tiplere dönüşmektedir 3 ve 4 tipler katsayı veya sabit terim farkı ile yine 7, 8 ve 9 tip denklemlere eşdeğerdir
5 ve 6 tipler ise, tek bilinmeyenli denklem haline dönüştürüldüklerinde birinci dereceden denklemlere indirgenirler Şu halde 7, 8 ve 9tiplerin bütün diğer tipleri kapsadığı sonucuna varılabilir

Bu üç tip denklemde ise, yani 7, 8 ve 9tiplerle 9 yüzyıl başlarında İslam Dünyası’nın önde gelen matematikçileri Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî’de karşılaşılmaktadır İslam Dünyası’nda da problem denklemleri önce bu tiplere dönüştürülmekte ve bundan sonra çözümleri tam kareye tamamlama metoduyla bulunmaktaydı

Mezopotamyalılar’da ise tam kareye tamamlama metodu pek kullanılmıyor ve iki bilinmeyenli denklem sistemi tek denkleme dönüştürülmüyordu Abdülhamid ibn Trük ve Harezmî denklem çözümlerini geometrik yoldan yaptıkları halde, Mezopotamyalılar bu çözümleri genellikle analitik yoldan yapıyorlardı Kurt Vogel, Thureau-Dangin ve Gandz’a göre Mezopotamyalılar’ın bu çözüm metotları Roma Çağı Yunan cebircisi Diofantos’un çözüm metotlarına benzemektedir Şu halde Diofantos’daki şekliyle Yunan cebirinin büyük ölçüde Mezopotamya cebirinin hemen hemen doğrudan doğruya bir devamı olduğu; Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî’nin temsil ettiği İslam Dünyası cebirinin ise Mezopotamya cebirine çok yakın olmasına rağmen, geometrik düşüncelerle temellendirilmiş olduğundan ondan farklı olup, tadil edilmiş bir şekildeki devamı olduğu neticesine varılabilir

Tam kareye tamamlama metodu Hârezmî vasıtasıyla Avrupa’ya geçmiştir Ancak Hârezmî özel çözüm formüllerini aynen Mezopotamya cebirindeki şekilleriyle Avrupa’ya nakletmiştir Yani Mezopotamya cebiri hem Hârezmî cebirinin temelinde bulunur, hem de onun vasıtasıyla Avrupa’yı etkilemiştir Diofantos da Avrupa üzerinde büyük etki yapmış bir matematikçidir Şu halde Mezopotamya cebiri büyük ölçüde Avrupa’yı etkilemiştir

Mezopotamya cebirindeki ikinci derece denklem tipleri geometrik olarak yorumlanacak olursa, ilk altı tip için asıl olan geometrik kavramın kare olmayıp dikdörtgen olduğu söylenebilir Çünkü denklemlerde esas olan x2 değil x ve y’dir İlk altı tip denklem sistemi dikdörtgenlerle ilgilidir Bir dikdörtgende iki kenar ve alandan ibaret üç nicelikten herhangi ikisi bilinince, bu bilinenler aracılığıyla üçüncü niceliğin değerini bir birinci derece denklemi yardımıyla bulmak mümkündür

Bu üç nicelik arasındaki daha kompleks bağlantılar durumunda ikinci derece denklemleriyle çözülebilecek problemler elde edilir Mezopotamya cebirindeki bu denklem tipleri bu tür problemler olarak

Örneğin, birinci tipte x+y=b, xy=c denklem sisteminde x ile y dikdörtgenin kenarlarını temsil ederse, xy de alanı göstereceğinden, bu tip denklemlerin söz konusu olduğu problemler, bir dikdörtgenin iki kenar toplamı ile alanının değerlerine dayanılarak kenarların bulunmasını isteyen problemlerdir
İkinci tipte ise, x-y=b, xy=c sisteminde, iki kenar farkı ve alan verilmekte, kenarların ayrı ayrı değerlerinin bulunması istenmektedir Üçüncü tip olan x+y=b, x2+y2=c sisteminde, iki kenar toplamı ile köşegenin karesi bilinmekte ve kenarlar aranmaktadır

Beşinci tip olan x+y=b, x2-y2=c sisteminde x bilinmeyeni köşegeni, y bilinmeyeni ise bir kenarı temsil ederse, x2-y2 ifadesi bir kenarın karesini verir, bir kenar ile köşegenin toplamı ve bir kenarın karesi aracılığıyla kenarlar istenmektedir

Bu geometrik yorum ışığında, aslında geometrik bir mahiyet taşıyan problemlerin cebir kıyafetine bürünmüş olduğu, bunların cebirsel bir problem şeklinde sunuldukları düşünülebilir Ayrıca, denklem çözümleri genellikle analitik yoldan bulunmakla birlikte, geometri yardımıyla denklem çözümüne hiç değilse bir örnek vardır Bu durumda, Mezopotamya cebirinin en eski dönemlerde geometri ile kuvvetli bağları olduğunu, bu cebirin Pitagorcular yoluyla Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebirinin devamıyla da Diofantos’ta karşılaşıldığını bir faraziye olarak ileri sürmek mümkün olabilir

Dokuz tipten sadece 7, 8 ve 9tipler, önceki tipler için düşünülen geometrik yorumlama dışında kalmaktadır Zaten Mezopotamyalılar’da, 7, 8tiplere az rastlanmakta, Gandz’a göre 9tipe ise hiç rastlanmamaktaydı Bunun sebebinin ise, x2+c=bx denkleminin iki çözümünün olması düşünülebilir

Mezopotamyalılar çift değerli çözümü yadırgamaktaydı Aynı bir bilinmeyenli için örneğin bir defasında 5 ve bir defasında da 7 bulunması bir tereddüt yaratmıştır Gandz’a göre x2+c=bx denkleminin çift çözümü, 1 tipteki x ve y çözümlerine bağlanabilir Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebirinde bu münasebet bilinmekte olmasına rağmen, çift çözüme bir tereddüt duyulmaması, x2+c=bx denklemi 1 tipten müstakil, kendi başına düşünüldüğünde dahi, iki çözüm çıkması sebebinin bir açıklanmaya bağlanması ile ilgiliydi Bu açıklama, geometrik çözüm metoduna dayanıyordu Kullanılan geometrik çözüm metodu, hem bu denklemin çift çözümü olmasını hem de diğer iki denklemin yani x2+bx=c ve x2=bx+c denklem tiplerinin birer çözümlü oluşunu izah edebiliyordu

Tabletlerde karşılaşılan örneklerden görüldüğü gibi, denklemler ilkin standart tiplerden birine ve özellikle de ilk tiplere dönüştürülüyor, sonra çözümleri veriliyordu Denklemlerin daha basit hale getirilerek standart tiplere dönüştürme işinde çeşitli metotlar kullanmışlardır Bu metotlardan bir tanesi, yardımcı bilinmeyen kullanılmasıdır Örneğin x+y=27, xy+(x-y)=183 şeklindeki problemi göz önüne alalım Burada x ile y bir dikdörtgenin kenarlarıdır Xy ise dikdörtgenin alanıdır Alana iki kenar farkı eklendiğinde 183 bulunuyor Çözüm adımları şöyle: x+y+xy+(x-y)=183+27=210, xy+2x=210, bu safhada bir y’ yardımcı bilinmeyeni işe karışmakta, y’=y+2, xy’=x(y+2)=xy+2x=210, x+y’=x+y+2=27+2=29 Böylece xy’=210 ve x+y’=29 şeklinde iki yeni denklem elde edilmekte, bu denklemler ise 1tipteki denklem sistemidir Bu şekilde, yardımcı bilinmeyen kullanılarak eldeki denklem 1tipe dönüştürülmüş oldu Bir diğer örnekte z=(x-y)/2 yardımcı bilinmeyeni kullanılmıştır

Yine, örneğin ax2+bx=c gibi bir denklemi çözmek için önce bu denklemi x2+(b/a)x şekline sokmamışlar, denklemin terimlerini kareli terimin katsayısı ile çarparak a2x2+bax=ca şekline sokmuşlardır Z=ax yardımcı bilinmeyenini kullanarak denklemi (ax)2+b(ax)=z2bz=ca şekline dönüştürmüşlerdir Bu da standart tiplerin 7sine tekabül etmektedir

Tabletlerde standart tiplerin çözümleri açıklanmamaktadır Bunların bilindiği gibi farz edilerek işlem adımları yapılmaktadır Diofantos’un Mezopotamya cebirinden etkilendiği açık biçimde anlaşıldığından, bazı araştırıcılar, denklem tiplerinin çözümlerinin de Diofantos’a benzer yoldan yapıldığına inanmışlardır Örneğin, x+y=b, xy=c tipini alalım Gandz’a göre bu tipin çözümü için, Diofantos’ta olduğu gibi x-y=2z bağıntısıyla (belirlenen)

(söylemekte)dir Neugebauer da Mezopotamyalılar’ın, bu denklem sistemlerini birinci dereceden iki denkleme indirgeme metoduyla çözümlerini bulduklarını belirtmektedir

Örneklerden anlaşıldığına göre, Mezopotamyalılar denklemleri başka şekillere dönüştürme alışkanlığında idiler ve yardımcı bilinmeyenlerden faydalanmada ustalaşmışlardı Birbirlerine kolaylıkla dönüşebilen ikinci derece denklemlerini tipler halinde dondurup, bunları birbirlerinden ayrı tutmaları, bu tip tasniflerinin, geometrik yorumlama tarzlarına dayandığı tahminlerinin doğruluğunu gösteriyor olabilir

Abdülhamid ibn ibn Türk ve Hârezmî cebirinde bütün denklemler tek bilinmeyenli üç tipe, yani Mezopotamyalılar’ın 7, 8 ve 9 tiplerine dönüştürülüyordu Bu bakımdan, Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebiri Mezopotamya cebirine nazaran daha derli toplu, metotları daha basitleştirilmiş bir cebirdir Mezopotamya cebirinin daha gelişmiş bir safhası olarak kabul edilebilir

19 yüzyılda Nesselmann isimli cebir tarihçisi cebirin gelişimini üç devreye ayırmıştır Birincisi, her şeyin cümleler halinde sözlü olarak verildiği retorik safhadır İkincisi, bazı kısaltma ve sembollerin kullanıldığı, ancak yine de sözlü ifadelerin hâkim olduğu kısaltmalı safhadır Üçüncüsü ise, her şeyin sembollerle ifade edildiği sembolik safhadır Bu sınıflamaya göre Mezopotamya cebiri retorik safhadadır

Mezopotamya cebiri, gelişmiş durumuna daha eski Babil çağında yeni Sumerliler zamanına yakın dönemlerde erişmiştir Eldeki belgelerin belirlediği kronolojiye göre, bu cebirdeki metot şuuru oldukça erken çağlarda ileri bir aşamaya ulaşmıştır Susa ve Elam’da yapılan kazılarda bulunmuş olan eski Babil çağına ait bazı matematik tabletleri, cebir biliminin yapısının sağladığı kolaylıkların soyut bir şekilde ele alınıp yeni metotların kurulmasında kullanılabilmiş olduğunu göstermektedir”
(Prof Dr Aydın Sayılı, Mısırlılar’da ve Mezopotamyalılar’da Matematik, Astronomi ve Tıp)