Tesselasyon (Düzlemsel Şekiller Kümesi) Nedir?

Matematikte bir döşeme (veya karolama, süsleme), aralarında boşluk bırakmadan veya örtüşmeden bir düzlemi kaplayan düzlemsel şekiller kümesidir Bu kavram daha yüksek boyutlar için de genellenebilir, bu genişletilmiş anlamı için döşeme yerine tesselasyon terimi kullanılır Tesselasyon M C Escher'in eserlerinde sıkça görülebilir Tesselasyona sanat tarihi boyunca, antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir
Kaldırım parkelerinin bir tesselasyonu

Wallpaper_group-p3-1jpg

Latince "tessella", mozaik yapmakta kullanılan küp şekilli bir kil, taş veya cam parçasıdır "Tessella" sözcüğü (kare anlamına gelen "tessera"dan gelir, onun kaynağı da "dört" anlamına gelen Yunanca sözcüktür) küçük kare anlamına gelir Gündelik dilde parke, karo veya çini döşeme, bu malzemelerin tesselasyon şeklinde yere veya duvara döşenmesidir Döşeme sözcüğü hem bu tür düzlem kaplayıcı cisim veya şekillere, hem de bu cisimlerle veya şekillerle kaplanmış yüzey için kullanılır Anlam kargaşasına yol açmamak için, aşağıdaki metinde, düzlemi kaplayıcı şekiller için karo terimi kullanılacaktır, ama "karo"nun gündelik dildeki anlamının aksine, tessalasyon yapmakta kullanılan şekillerin dörtgen olma şartı yoktur
Bir arı peteği tesselasyonlu bir doğal yapı örneğidir

Buckfast_beejpg

Duvar kağıdı grupları
Öteleme simetrisi olan döşemeler "duvarkağıdı grubu" olarak kategorilendirilebilir, bunlardan 17 tane vardır El Hamra Sarayı'nda bu örüntü tiplerinin her birinden bulunur Düzgün (eşkenar çokgenlerden meydana gelen) döşemelerden ikisi p6m, biri p4m kategorisine aittir

Tesselasyon ve renkler
Bu paralelkenar örüntüsü bir düzlemi kaplamadan önce boyanırsa, her bir paralelkenarın komşularından farklı bir renge sahip olabilmesi için yedi farklı renk kullanılması gerekir (Bu döşeme şekli bir simit yüzeyinin döşenmesine benzetilebilir) Eğer döşeme boyamadan önce yapılırsa sadece dört renk yeterlidir

800px-Torus_with_seven_colourssvgjpg

Renkli bir döşemeden bahsederken, yanlış anlamaya yol açmamak için, renklerin döşemenin parçası mı olduğu yoksa sadece tekrar eden birim şekle mi ait olduğunun belirtilmesi gerekir
Dört renk teoremi, normal bir Öklid düzlemindeki her bir döşemesi için, eğer dört renk kullanılırsa, her bir karonun komşularından farklı bir renkle boyanabileceğini önerir; bu boyamada aynı renge sahip iki karo pozitif uzunlukla bir kenar ile birbirine dokunamaz Ancak, dört renk kuramının garantilediği renklendirme genelde tesselasyonun meydana getirdiği simetriyi muhafaza etmeyebilir Tesselasyon simetrisine uyan bir renklendirme daha fazla sayıda renk gerektirebilir, yukarıdaki resimdeki örnekte görülebileceği gibi

Dörtgenlerle tesselasyon
Herhangi bir dörtgen karonun kopyaları kullanılarak elde edilecek döşemenin belli simetri özellikleri vardır:

• Her bir dörtgen kenarının orta noktasında iki katlı dönel simetrisi vardırDörtgenlerin gösterdiği öteleme simetrisinin taban vektörleri ya
  • Dörtgenin köşegenleri veya
  • Köşegenlerden biri ve iki köşegenin toplamı veya farkıdır

Asimetrik bir dörtgen karo döşemesi Duvarkağıdı grubu p2'ye aittir Tekrarlanan temel şekil olarak dörtgen vardır Buna denk bir önerme olarak, dörtgenin dönel merkezinden başlamak üzere iki öteleme vektörü arasında yer alan bir paralelogram çizebiliriz, bunu bir köşegen ile ikiy bölüp yarım şekillerden (üçgenlerden) birini temel şekil olarak alabiliriz Bu üçgenin alanı, başlangıçtaki dörtgen ile aynı lana sahiptir ve kesip yapıştırma yoluyla inşa edilebilir

Düzgün ve yarı-düzgün tesselasyonlar
Döşemede altıgenlerden oluşan bir tesselasyon

Hexagonal_tessellationJPG

Düzenli tesselasyon, benzer düzgün çokgenlerden oluşmuş yüksek simetrili bir tesselasyondur Sadece üç tane düzgün tesselasyon vardır Bunlar eşkenar üçgenlerden, karelerden veya altıgenlerden meydana gelen döşemelerdir
Yarı düzgün tesselasyonlar çeşitli düzgün çokgenlerden oluşur; bunlardan sekiz sınıf vardır Bu çokgenlerin her bir köşedeki yerleşimi aynıdır Kenar-kenara tesselasyonlar daha düzensizdir: tek şart, bitişik şekillerin tek bir kenarı paylaşmasıdır, yani bir şekil bir kenarının sadece bir kısmını başka bir şekille paylaşamaz Başka tür tesselasyonlar da mevcuttur, kullanılan şekil ve bunların örüntüsüne bağlı olarak Düzgün olan ve olmayan, periyodik ve aperiyodik (periyodik olmayan), simetrik ve asimetrik, ayrıca fraktal tesselasyonlar vardır, bunların yanı sıra başka sınıflandırmalar da sayılabilir
İki farklı çokgen kullanan Penrose döşemesi aperiyodik örüntüler yaratan tesselasyonların en meşhur örneğidir Bu döşemeler, özyineleme kullanarak kendi kendini üreten çokgen kümelerinden inşa edilen aperiyodik döşemeler sınıfına aittir
Monohedral kaplama, tüm şekillerin birbirine benzer olduğu bir tesselasyondur Spiral monohedral döşemeler arasında Hans Voderberg tarafından 1936'da keşfedilmiş olan Voderberg döşemesi ve Michael Hirschhorn tarafından 1970'lerde keşfedilen Hirschhorn döşemesi bulunmaktadır Voderberg döşemesinin birim şekli konveks olmayan bir dokuzgen, Hirschhorn döşemesinin birim şekli ise düzgün olmayan bir beşgendir

Öz-çifteş tesselasyonlar
Eğer bir şeklin kenarları ve köşelerinin yer değiştirmesi halinde gene aynı şekil ortaya çıkarsa (kare gibi) bu şeklin öz-çifteş (self dual) olduğu söylenebilir Düzgün döşemeler ve petekler öz-çifteş olabilir Schlafli sembolü ile tes1PNG olarak betimlenen tüm n-boyutlu hiperkübik petekler öz çifteştir

Self-dual_square_tilingpng

Tesselasyonlar ve bilgisayar modeleri
Sonlu elemanlar problemini çözmek için bir diskin tesselasyonu

600px-Finite_element_triangulationsvgpng

Bilgisayar grafiği sahasında, çokgenlerden oluşan veri kümelerinin idaresi ve onların grafik sunumu (rendering) için kullanışlı yapılara bölünmesi için sık sık tesselasyon teknikleri kullanılır Normalde, en azından gerçek zamanlı renderingde, görüntüyü oluşturan verilerin üçgenler halinde döşemsi yapılır, bu işleme bazen üçgenleme denir Tesselasyon, bilgisayar grafikleme arayüzlerinden DirectX 11 ve OpenGL'nin temel özelliğidir
Bilgisayar eşlikli tasarımda oluşturulan tasarım, bir sınır temsil topoloji modeli ile temsil edilir Bunda, yüzey ve kenarlar ile sınırlandırılmış analitik üç boyutlu yüzey ve eğriler, 3 boyutlu bir cismin kesintisiz sınırını oluşturur Herhangi bir 3 boyutlu cisim doğrudan analiz edilemeyecek kadar karmaşık olabilir Bu cisimler, kolay analiz edilebilen küçük 3-boyutlu hacim elemanlarından oluşan bir ağ ile kaplanır, genelde bu ağ ya düzensiz tetrahedronlar veya düzensiz heksahedronlardan oluşur Bu ağ, sonlu eleman analizi için kullanılır
Bir yüzeyin ağı genelde teker teker yüzey ve kenarlardan oluşturulur, öyleki ki özgün cismin yüzeyindeki limit noktalar ağın parçası olur Özgün yüzeyin bu ağ tarafından benzetilmesi, ağı oluşturan fonksiyonun üç parametresi tarafından belirlenir

• Gerçek yüzey ile düzlemsel yaklaşıklık arasındaki en büyük uzaklık ("sarkma" tabir edilir) Bu parametre ağın özgün yüzeye yeterince benzemesini sağlar
• Benzetme çokgeninin en büyük boyu Bu parametre daha ayrıntılı analiz için yeterince detay kalmasını sağlar
• İki benzetme çokgeni arasındaki en büyük düzlemsel açı Bu parametre çok küçük tümsek veya oyukların ağ içinde kaybolmamasını saplar

Bu parametreler ağ üreten algoritmaların işleyişini belirler Bazı bilgisayar analizleri uyumsal (adaptif) ağlar gerektirir Böyle durumlarda analizin gereksinimine göre ağ, yerel olarak daha detaylı hale getirilebilir
Bazı jeodesik kubbeler, mümkün olduğunca eşkenarlı olan üçgenlerle bir kürenin yüzyeyini kaplayarak tasarlanır

Doğada tesselasyonlar
Gün batımında mozaik kaldırım taşı biçiminde kayalar Eaglehawk Neck, Tazmanya

800px-Tessellated_Pavement_Sunrise_Landscapejpg

Bazaltik lav akıntıları katılaştıktan sonra çoğu zaman büzülme kuvvetlerinin etkisiyle sütunsal çatlak yaparlar Meydana gelen yaygın çatlak ağı genelde altıgensel lav sütunlar oluşturur Bunun bir örneği, Kuzey İrlanda'daki Giant's Causeway'deki sütün dizilimidir
Tazmanya'daki mozaik kaldırım taşları, kayaçların dörtgen bloklar şeklinde çatlamış olduğu ender bir tortul kayaç oluşumudur