Polinomlar |
04-17-2009 | #1 |
Şengül Şirin
|
PolinomlarPolinomlar A TANIMn bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n dereceden polinom (çok terimli) denir B TEMEL KAVRAMLAR P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn olmak üzere, Ü a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir Ü a0, a1x, a2x2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir Ü a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir Sabit polinomunun derecesi sıfırdır Her polinom bir fonksiyondur Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır C ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1 biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir D POLİNOMLARDA EŞİTLİK Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir Ü P(x) polinomunun; Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: E POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1 Toplama ve Çıkarma P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … olmak üzere, P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + … P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + … olur 2 Çarpma İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir 3 Bölme der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere, P(x) : Bölünen polinom Q(x) : Bölen polinom B(x) : Bölüm polinom K(x) : Kalan polinomdur Ü P(x) = Q(x) B(x) + K(x) Ü der [K(x)] < der [Q(x)] Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)] Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır Bunun için;
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz 1 Bölen Birinci Dereceden İse Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır
2 Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur P(x) polinomunun a(x – b) (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise, P(x) = a(x – b) (x – c) Q(x) + mx + n olur P(b) = mb + n … (1) P(c) = mc + n … (2) (1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir 3 Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur 1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur 2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır
Î N+) P(x) = axn + bxm + d ise, Pı(x) = a nxn–1 + b mxm–1 + 0 Pıı(x) = a n (n – 1)xn – 2 + b m(m –1) xm – 2 dir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise, P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan K(x) = (x – a) k2 + k1 olur G BASİT KESİRLERE AYIRMA a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere, eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır Aynı işlemler B için de yapılır H DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER m > n olmak üzere, der[P(x)] = m der[Q(x)] = n olsun Buna göre,
|
|