Sayılar Kuramı, Tamsayıları ve Bunlara Ilişkin Kavramları Konu Alan Matematik Dalı.

**Şengül Şirin** · 09-20-2013

SAYILAR KURAMI

Sayılar kuramı,tamsayıları ve bunlara ilişkin kavramları konu alan matematik dalı

Sayılar kuramı eski uygarlıklarda nümeroloji ile yakından ilişkiliydi

Örneğin Kitabı Mukaddes'te dünyanın altı günde yaratıldığından belirtilmesi ve 6 sayısının en küçkük yetkinsayı olması çok önemli bir rastlaşım olarakkabul edilmekteydi

( yetkin sayı,kendisi dışındaki tamsayı çarpanlarının toplamına eşit olan sayıdır

örn

6= 1x2x3= 1+2+3)

Rönesans boyunca astronominin astrolojiden,kimyanın simyadan ayrılmasına benzer bir süreç içinde,sayılar kuramının da nümeroloji ile ilişkisi ortadan kalktı

Modern sayılar kuramına ilişkin problemlerin çözümünde matematiğin hemen her dalına ilişkin bilgilerden yararlanılır

bununla birlikte,sayılar kuramı,amatör matematikçilerin ve öğrencilerin ilgi duydukları konuların başında gelir

Bu olgu sayılar kuramında pek çok problemin kolay anlaşılabilir ve yalın bir biçimde ortaya konabilmesiyle açıklanabilir

Sayılar kuramında güzel bir problemin ortaya konması pek zor değildir

ama problemin çözümüne sıra gelince iş değişir

"Bir yüzyılı aşkın süredir çözülememiş ve ilginçliğini koruyan bir matematik problemi varsa,bu problem sayılar kuramına ilişkindir"

görüşü büyük ölçüde doğrudur

Sayılar kuramının en ünlü problemlerinden biri

adını Fransız matematikçi Pierre de Fermat'dan (1601-65) alır

Fermat,

biçimindeki Diophantos denklemini çözmeye çalışıyordu

(Diophantos denklemi,yalnızca tamsayı çözümleri aranan bir cebirsel denklemdir)

Bu denklemin

ile y pozitif tamsayılar olmak üzere hiçbir çözümü bulunamamıştır

Diophantos denklemleri adını İskenderiyeli Diophantos'tan (İS y

250) alır

Fermat Diophantos'un Arithmetika adlı kitabının kendindeki kopyasında sayfa kenarlarına notlar ve kimi teoremlerin kanıtlarını yazmıştı

Bunlar arasında

denkleminin

için pozitif tamsayılı hiçbir çözümü olamayacağının son derece güzel bir kanıtını bulduğunu ama bu kanıtın safyanın kenar boşluğuna sığmayacak kadar uzun olduğunu belirten bir nota rastlandı

O dönemden günümüze değin geçen 300 yılı aşkın süre içinde hiçbir matematikçi bu kanıtı ortaya koymayı başaramadı

Günümüzde bu problem Fermat'nın büyük teoremi olarak adlandırılır

Fermat'ın büyük teoremini kanıtlamaya yönelik çabalar,sayılar kuramının bir başka dalının,cebirsel sayılar kuramının gelişmesine büyük katkıda bulundu

Cebirsel sayılar,katsayıları tamsayı olan çokterimli denklemlerinin kökü olan sayılardır

Cebirsel sayılar bütün rasyonel sayıları ve bazı

sayısı da cebirseldir

bu sayı da

denkleminin köküdür

Cebirsel sayıların Fermat'ın büyük teoremi ile ilişkisi söyle

yazılabileceğinden aynı sayının cebirsel sayıların çarpımı biçimindeki bu iki ifadesinin karşılaştırılması yoluyal Fermat teoreminin kanıtına yönelik bilgiler elde edilmesi umulabilir

Gerçekten de n'nin birçok değeri içinb u yaklaşım sonuç vermiştir

ama bu yolla teoremin genel kanıtına ulaşmak olanaklı olmamıştır

1977'ye değin Fermat teoremi n'nin 125

000 'e kadarki bütün değerleri için doğrulanmış durumdaydı

Cebirsel olmayan sayılar aşkın (transandantal) sayı olarak adlandırılır

Alman matematikçi Georg Cantor ,1874'te hemen hemen bütün sayıların bir anlamda aşkın sayı olarak kabul edilmesi gerektiğini göstermiştir

Verilen birsayının aşkın olup olmadığını belirlemek matematiğin en zor problemleri arasında yer alır

Doğal logaritma tabanı olan e sayısının aşkınsayı olduğu Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından 1873'te kanıtlandı

sayısının aşkın olduğunu ise Ferdinand von Lindemann 1882'de belirledi

Lindamann,böylece ,Eski Yunanlılardan bu yana çözülememiş bir problemin yani alanı verilen bir dairenin alanına eşit bir karenin yalnızca cetvel ve pergel kullanılarak çizilmesi probleminin çözülmesinin olanaksız olduğunu kanıtlamış oluyordu

Sayılar kuramına giren problemlerin büyük bölümü asal sayılara ilişkindir

Asal sayılar,kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan 1'den büyük ve asal olmayan sayılar bileşik sayı olarak adlandırılır

Her bileşik sayı,asal sayıların çarpımı biçiminde iade edilebilir

ve bu ifade tektir (örn

1176= 2x2x2x3x7x7)

Aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılan bu teoremi ilk kez Carl Friedrich Gauss,Disquisitiones Arithmeticae (1801;Aritmetik Tartışmaları) adlı yapıtında ortaya koydu

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 217 frmsinsi

net için derlenmiştir

09-20-2013	#1
Şengül Şirin	Sayılar Kuramı, Tamsayıları ve Bunlara Ilişkin Kavramları Konu Alan Matematik Dalı. SAYILAR KURAMI Sayılar kuramı,tamsayıları ve bunlara ilişkin kavramları konu alan matematik dalı Sayılar kuramı eski uygarlıklarda nümeroloji ile yakından ilişkiliydiÖrneğin Kitabı Mukaddes'te dünyanın altı günde yaratıldığından belirtilmesi ve 6 sayısının en küçkük yetkinsayı olması çok önemli bir rastlaşım olarakkabul edilmekteydi( yetkin sayı,kendisi dışındaki tamsayı çarpanlarının toplamına eşit olan sayıdırörn6= 1x2x3= 1+2+3)Rönesans boyunca astronominin astrolojiden,kimyanın simyadan ayrılmasına benzer bir süreç içinde,sayılar kuramının da nümeroloji ile ilişkisi ortadan kalktı Modern sayılar kuramına ilişkin problemlerin çözümünde matematiğin hemen her dalına ilişkin bilgilerden yararlanılırbununla birlikte,sayılar kuramı,amatör matematikçilerin ve öğrencilerin ilgi duydukları konuların başında gelirBu olgu sayılar kuramında pek çok problemin kolay anlaşılabilir ve yalın bir biçimde ortaya konabilmesiyle açıklanabilirSayılar kuramında güzel bir problemin ortaya konması pek zor değildirama problemin çözümüne sıra gelince iş değişir"Bir yüzyılı aşkın süredir çözülememiş ve ilginçliğini koruyan bir matematik problemi varsa,bu problem sayılar kuramına ilişkindir"görüşü büyük ölçüde doğrudur Sayılar kuramının en ünlü problemlerinden biriadını Fransız matematikçi Pierre de Fermat'dan (1601-65) alırFermat, biçimindeki Diophantos denklemini çözmeye çalışıyordu(Diophantos denklemi,yalnızca tamsayı çözümleri aranan bir cebirsel denklemdir)Bu denklemin ile y pozitif tamsayılar olmak üzere hiçbir çözümü bulunamamıştırDiophantos denklemleri adını İskenderiyeli Diophantos'tan (İS y250) alırFermat Diophantos'un Arithmetika adlı kitabının kendindeki kopyasında sayfa kenarlarına notlar ve kimi teoremlerin kanıtlarını yazmıştıBunlar arasında denkleminin için pozitif tamsayılı hiçbir çözümü olamayacağının son derece güzel bir kanıtını bulduğunu ama bu kanıtın safyanın kenar boşluğuna sığmayacak kadar uzun olduğunu belirten bir nota rastlandıO dönemden günümüze değin geçen 300 yılı aşkın süre içinde hiçbir matematikçi bu kanıtı ortaya koymayı başaramadıGünümüzde bu problem Fermat'nın büyük teoremi olarak adlandırılır Fermat'ın büyük teoremini kanıtlamaya yönelik çabalar,sayılar kuramının bir başka dalının,cebirsel sayılar kuramının gelişmesine büyük katkıda bulunduCebirsel sayılar,katsayıları tamsayı olan çokterimli denklemlerinin kökü olan sayılardırCebirsel sayılar bütün rasyonel sayıları ve bazı sayısı da cebirseldirbu sayı da denkleminin köküdürCebirsel sayıların Fermat'ın büyük teoremi ile ilişkisi söyle yazılabileceğinden aynı sayının cebirsel sayıların çarpımı biçimindeki bu iki ifadesinin karşılaştırılması yoluyal Fermat teoreminin kanıtına yönelik bilgiler elde edilmesi umulabilirGerçekten de n'nin birçok değeri içinb u yaklaşım sonuç vermiştirama bu yolla teoremin genel kanıtına ulaşmak olanaklı olmamıştır1977'ye değin Fermat teoremi n'nin 125000 'e kadarki bütün değerleri için doğrulanmış durumdaydı Cebirsel olmayan sayılar aşkın (transandantal) sayı olarak adlandırılırAlman matematikçi Georg Cantor ,1874'te hemen hemen bütün sayıların bir anlamda aşkın sayı olarak kabul edilmesi gerektiğini göstermiştirVerilen birsayının aşkın olup olmadığını belirlemek matematiğin en zor problemleri arasında yer alırDoğal logaritma tabanı olan e sayısının aşkınsayı olduğu Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından 1873'te kanıtlandı sayısının aşkın olduğunu ise Ferdinand von Lindemann 1882'de belirlediLindamann,böylece ,Eski Yunanlılardan bu yana çözülememiş bir problemin yani alanı verilen bir dairenin alanına eşit bir karenin yalnızca cetvel ve pergel kullanılarak çizilmesi probleminin çözülmesinin olanaksız olduğunu kanıtlamış oluyordu Sayılar kuramına giren problemlerin büyük bölümü asal sayılara ilişkindirAsal sayılar,kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan 1'den büyük ve asal olmayan sayılar bileşik sayı olarak adlandırılırHer bileşik sayı,asal sayıların çarpımı biçiminde iade edilebilirve bu ifade tektir (örn1176= 2x2x2x3x7x7)Aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılan bu teoremi ilk kez Carl Friedrich Gauss,Disquisitiones Arithmeticae (1801;Aritmetik Tartışmaları) adlı yapıtında ortaya koydu Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 217 frmsinsinet için derlenmiştir __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır