Cevap : Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği

**Şengül Şirin** · 07-11-2009

4

7

1

2

MİNİTERİMLERİN TOPLAMI Bir önceki konuda n sayıda değişkene ait 2n sayıda minimum terim yazılabileceğini
ve bu minimum terimlerin fonksiyonu ‘1’ yapan terimler olduğu anlatılmıştı

Boolean fonksiyonunu minterimlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun ‘1’ olduğu her durum için minimum terimler bulunur

Bulunan bu minimum terimler VEYA’lanarak fonksiyon minterimlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılabilir

4

7

1

3

MAXİTERİMLERİN ÇARPIMI

Şeklinde fonksiyon verilebilir

∏ sembolü parantez içindeki maxiterimlere VE işleminin uygulanacağını gösterirken, çıkış ifadesini (Q) takip eden parantez değişkenleri (A,B,C) göstermektedir

Boolean fonksiyonların maxterimlerin çarpımı (toplamların çarpımı) olarak ifade edebilmek için fonksiyonu VEYA terimleri haline getirmek gerekir

Bu işlem:
(A+B)

(A+C) = A+B

C

dağılma kanunu kullanılarak gerçekleştirilir

Daha sonra her bir VEYA teriminde eksik değişken varsa , A eksik değişkeni göstermek üzere terim,

4

7

1

4 BOOLEAN AÇILIMLARININ BİRBİRLERİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
İki temel Boolean açılımda kullanılan minterim ve maxterimler ifade ediliş bakımından birbirlerinin tümleyeni olduğu görülebilir

Bunun nedeni fonksiyonu ‘1’ yapan terimlere ait minimum terimler bulunurken, fonksiyonu ‘0’ yapan minimum terimlerin tümleyeninin fonksiyonu ‘1’ yapmasıdır

Örneğin :

Boolean açılımlarının birbirleri arasındaki dönüşümde;
I - Dönüşüm işlemine göre
a) Eğer minterimden maxterime dönüşüm isteniyorsa ∑ sembolü ile ∏ sembolü ile değiştirilir

b) Eğer maxterimden minterime dönüşüm isteniyorsa ∏ sembolü ile ∑ sembolü ile değiştirilir

II - Fonksiyonda sayılar seklinde verilen terimlerin yerlerine fonksiyonda bulunmayan sayıları yazılır

adımları takip edilebilir

Örnek :
Aşağıda minterimler cinsinden verilen fonksiyonu maxterimler cinsinden yazınız

Q(x,y,z,w)=∏(0,2,3,7,9,11,12,13,15)

Çözüm:
Dönüşüm işlemi maxterimden minterime olduğuna göre ∏sembolü ∑ sembolü ile yer değişecektir

Fonksiyonda olmayan sayılar yazılarak dönüşüm işlemi tamamlanmış olur

Q(x,y,z,w)= ∑ (1,4,5,6,8,10,14)

4

7

1

5

STANDART İFADELER
Boolean fonksiyonların elde etmenin bir diğer yolu standart formlardır

Bu formda fonksiyonu oluşturan terimler değişkenlerin tamamı içermetebilir

İki temel tip standart form vardır, çarpımların toplamı (Sum of Product-SOP) ve toplamların çarpımı (Product of Sum-POS)

Çarpımların toplamı formu, bir veya daha fazla değişkenden oluşan çarpım terimleri olarak adlandırılan VE terimlerinden oluşmuş Boolean ifadesi gösterimidir

Toplam, elde edilen VE terimlerinin VEYA ’landığını göstermektedir

Bu forma bir örnek aşağıda gösterilmiştir

4

7

2 DİĞER SAYISAL İŞLEMLER
n kadar değişkene sahip bir Boolean fonksiyonu için 2n olası durum yazılabildiği için,2n
n kadar değişken için yazılabilecek fonksiyon sayısı
n=2 olduğundan yazılabilecek fonksiyon sayısı 16’dır

2 kadardır

İki değişken için X ve y gibi iki değişkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları Tablo 4

7’de verilmiştir

Tabloda F0’dan F15’e kadar olan 16 sütündan her birisi x ve y değişkenlerinden oluşan fonksiyonlardan birinin doğruluk tablosunu gösterm ektedir

Fonksiyonlar F’in alabileceği 16 durumdan elde edilmiştir

Fonksiyonların bazılarında işlemci sembolü vardır

Örmeğin F1, Ve işlemine ilişkin doğruluk tablosunu vermektedir ve işlem sembolü “

” olarak verilmiştir

Tablo 4

8 doğruluk tablosu verilen 16 fonksiyona ait Boolean ifadelerini göstermektedir

Boolean ifadeleri en az sayıda değişken içerecek biçimde sadeleştirilmiştir

Tabloda görülen fonksiyonların bir bölümü (VE,VEYA,DEĞİL vb

) Boolean işlemcileri ile ifade edilebilmelerine rağmen diğer fonksiyonları n ( Özel VEYA, x değil ve y vb

) ifade edilebilmeleri için özel işlem sembolü kullanılmıştır

Özel-Veya işlemi dışındaki işlem sembolleri tasarımcılar tarafından pek kullanılmaz

Tablo 4

8’da verilen 16 fonksiyon üç ana gurupta incelenebilir:
I

İki fonksiyon ‘0’ veya ‘1’ gibi bir sabit üretir

II

Dört fonksiyon tümleyen ve transfer işlemini verir

III

On fonksiyon VE,VEYA,VEDEĞİL,VEYADEĞİL,Özel-VEYA, Özel-VEYA DEĞİL, engelleme ve içerme olmak üzere sekiz işlemi gösterir

İkilik bir fonksiyon sadece ‘1’ veya ‘0’ değerlerini alabilir

Tümleyen fonksiyonu ikilik değişkenlerden (x ,y) her birisinin tümleyenini(x’,y’) verir

Girişin değişkenlerinden birine eşit olan fonksiyona transfer fonksiyonu denir

Engeleme ve içerme işlemleri sayısal tasarımcılar tarafından kullanılsada bilgisayar mantığında nadiren kullanılr

VE,VEYA,VE değil,VEYA değil,Özel-VEYA ve Özel-VEYA değil işlemleri sayısal sistemlerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır

07-11-2009	#3
Şengül Şirin	Cevap : Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği 4712 MİNİTERİMLERİN TOPLAMI Bir önceki konuda n sayıda değişkene ait 2n sayıda minimum terim yazılabileceğini ve bu minimum terimlerin fonksiyonu ‘1’ yapan terimler olduğu anlatılmıştı Boolean fonksiyonunu minterimlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun ‘1’ olduğu her durum için minimum terimler bulunur Bulunan bu minimum terimler VEYA’lanarak fonksiyon minterimlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılabilir <!-- / message --> 4713 MAXİTERİMLERİN ÇARPIMI Şeklinde fonksiyon verilebilir ∏ sembolü parantez içindeki maxiterimlere VE işleminin uygulanacağını gösterirken, çıkış ifadesini (Q) takip eden parantez değişkenleri (A,B,C) göstermektedir Boolean fonksiyonların maxterimlerin çarpımı (toplamların çarpımı) olarak ifade edebilmek için fonksiyonu VEYA terimleri haline getirmek gerekir Bu işlem: (A+B)(A+C) = A+BC dağılma kanunu kullanılarak gerçekleştirilirDaha sonra her bir VEYA teriminde eksik değişken varsa , A eksik değişkeni göstermek üzere terim, 4714 BOOLEAN AÇILIMLARININ BİRBİRLERİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ İki temel Boolean açılımda kullanılan minterim ve maxterimler ifade ediliş bakımından birbirlerinin tümleyeni olduğu görülebilir Bunun nedeni fonksiyonu ‘1’ yapan terimlere ait minimum terimler bulunurken, fonksiyonu ‘0’ yapan minimum terimlerin tümleyeninin fonksiyonu ‘1’ yapmasıdır Örneğin : Boolean açılımlarının birbirleri arasındaki dönüşümde; I - Dönüşüm işlemine göre a) Eğer minterimden maxterime dönüşüm isteniyorsa ∑ sembolü ile ∏ sembolü ile değiştirilir b) Eğer maxterimden minterime dönüşüm isteniyorsa ∏ sembolü ile ∑ sembolü ile değiştirilir II - Fonksiyonda sayılar seklinde verilen terimlerin yerlerine fonksiyonda bulunmayan sayıları yazılır adımları takip edilebilir Örnek : Aşağıda minterimler cinsinden verilen fonksiyonu maxterimler cinsinden yazınız Q(x,y,z,w)=∏(0,2,3,7,9,11,12,13,15) Çözüm: Dönüşüm işlemi maxterimden minterime olduğuna göre ∏sembolü ∑ sembolü ile yer değişecektir Fonksiyonda olmayan sayılar yazılarak dönüşüm işlemi tamamlanmış olur Q(x,y,z,w)= ∑ (1,4,5,6,8,10,14) 4715 STANDART İFADELER Boolean fonksiyonların elde etmenin bir diğer yolu standart formlardır Bu formda fonksiyonu oluşturan terimler değişkenlerin tamamı içermetebilir İki temel tip standart form vardır, çarpımların toplamı (Sum of Product-SOP) ve toplamların çarpımı (Product of Sum-POS) Çarpımların toplamı formu, bir veya daha fazla değişkenden oluşan çarpım terimleri olarak adlandırılan VE terimlerinden oluşmuş Boolean ifadesi gösterimidirToplam, elde edilen VE terimlerinin VEYA ’landığını göstermektedirBu forma bir örnek aşağıda gösterilmiştir 472 DİĞER SAYISAL İŞLEMLER n kadar değişkene sahip bir Boolean fonksiyonu için 2n olası durum yazılabildiği için,2n n kadar değişken için yazılabilecek fonksiyon sayısı n=2 olduğundan yazılabilecek fonksiyon sayısı 16’dır 2 kadardır İki değişken için X ve y gibi iki değişkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları Tablo 47’de verilmiştirTabloda F0’dan F15’e kadar olan 16 sütündan her birisi x ve y değişkenlerinden oluşan fonksiyonlardan birinin doğruluk tablosunu gösterm ektedir Fonksiyonlar F’in alabileceği 16 durumdan elde edilmiştir Fonksiyonların bazılarında işlemci sembolü vardır Örmeğin F1, Ve işlemine ilişkin doğruluk tablosunu vermektedir ve işlem sembolü “” olarak verilmiştir Tablo 48 doğruluk tablosu verilen 16 fonksiyona ait Boolean ifadelerini göstermektedir Boolean ifadeleri en az sayıda değişken içerecek biçimde sadeleştirilmiştir Tabloda görülen fonksiyonların bir bölümü (VE,VEYA,DEĞİL vb) Boolean işlemcileri ile ifade edilebilmelerine rağmen diğer fonksiyonları n ( Özel VEYA, x değil ve y vb) ifade edilebilmeleri için özel işlem sembolü kullanılmıştır Özel-Veya işlemi dışındaki işlem sembolleri tasarımcılar tarafından pek kullanılmaz Tablo 48’da verilen 16 fonksiyon üç ana gurupta incelenebilir: I İki fonksiyon ‘0’ veya ‘1’ gibi bir sabit üretir II Dört fonksiyon tümleyen ve transfer işlemini verir III On fonksiyon VE,VEYA,VEDEĞİL,VEYADEĞİL,Özel-VEYA, Özel-VEYA DEĞİL, engelleme ve içerme olmak üzere sekiz işlemi gösterir İkilik bir fonksiyon sadece ‘1’ veya ‘0’ değerlerini alabilir Tümleyen fonksiyonu ikilik değişkenlerden (x ,y) her birisinin tümleyenini(x’,y’) verir Girişin değişkenlerinden birine eşit olan fonksiyona transfer fonksiyonu denir Engeleme ve içerme işlemleri sayısal tasarımcılar tarafından kullanılsada bilgisayar mantığında nadiren kullanılr VE,VEYA,VE değil,VEYA değil,Özel-VEYA ve Özel-VEYA değil işlemleri sayısal sistemlerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır