Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği

**Şengül Şirin** · 07-11-2009

Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği

BOOLEAN MATEMATİĞİ

İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından gerçekleştirildi

BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin çıkış ifadelerinin giriş değişkenle ri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ulaşması için kullanılır

Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır

DEĞİL,VE,VEYA,VEDEĞİL ve VEYADEĞİL kapılarının, BOOLEAN Matematiği ifadeleri

BOOLEAN matematiğinde temel kuralların ve kanunların uygulanması

BOOLEAN ifadelerinde DeMorgan teoreminin uygulanması

BOOLEAN ifadelerinden sayısal devrenin çizilmesi,bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilmesi

BOOLEAN ifadelerinin kanunlar ve kurallar yardımı ile sadeleştirilmesi

BOOLEAN ifadelerinin doğruluk tablolarından elde edilmesi ve BOOLEAN açılmları ve standart ifadeler

BOOLEAN açılımların birbirlerine dönüşümü

Sayısal işlemler

4

1

BOOLEAN İŞLEMLERİ

Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir

Bu bölümde temel Boolean işlemleri ve bunların sayısal devrelerde nasıl kullanıldığı anlatılacaktır

4

1

1 BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLERİ

Boolean matematiğinde kullanılan değişkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilmiştir

Sayısal olarak bir değişken veya fonksiyon iki değer alabilir

Bu değerler 1 veya 0 olacaktır

Değişkenlerin veya fonksiyonların aldığı bu değerler sayısal devrelerde eğer “1” ise YÜKSEK gerilim seviyesi , “0” ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir

A ve B girişlere uygulanan iki değişkeni gösterirse VE fonksiyonu Boolen ifadesi olarak ‘A

B’ şeklinde yazılırken, VEYA fonksiyonu için ‘A+B’ şeklinde yazılacaktır

4

1

2 BOOLEAN TOPLAMA VE ÇARPMA

Boolean toplamaya ilişkin temel kurallar aşağıda verilmiştir

4

2

BOOLEAN KANUNLARI

Boolen matematiğinin üç temel kanunu: Yer değiştirme kanunu( Commutative Laws), Birleşme kanunu (Associative Laws) ve Dağılma Kanunu (Distributive Laws) adını alırlar

YER DEĞİŞTİRME KANUNU( COMMUTATİVE LAWS)

İki giriş değişkeni için Boolean toplamaya ait yer değiştirme kanunu aşağıdaki gibi yazılır

BİRLEŞME KANUNU (ASSOCİATİVE LAWS)

Boolean toplama işlemine ilişkin birleşme kanunu A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılır

DAĞILMA KANUNU (DISTRIBUTIVE LAW)

A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere dağılma kanunu aşağıdaki gibi yazılır

4

3 BOOLEAN MATEMATİĞİ KURALLARI

Kural 1- VEYA özdeşlikleri

a) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “0” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır

Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur

b) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “1” ise , A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “1” olur

c) Bir VEYA kapısının girişlerine değişkenin değili ile kendisi uygulanırsa çıkış
A’nın durumu ne olursa olsun daima “1” olur

d) Bir VEYA kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır

Eğer A=0 ise çıkış “0”, =1 ise çıkış “1” olur

Kural 2- VE özdeşlikleri

a) Bir VE kapısının girişlerinden biri “0” ise, A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış
daima “0”olur

b) Bir VE kapısının girişlerinden biri “1” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır

Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur

c) Bir VE kapısının girişlerine değişkenin değili(tümleyeni) ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “0” olur

d) Bir VE kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır

Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur

Kural 3- Çift tersleme kuralı

Bir Lojik ifadenin veya değişkenin iki defa değili alınırsa (terslenirse) lojik ifadenin veya değişkenin aslı elde edilir

Kural 4- Yutma kuralı

Bu kuralı dağılma kanunu ve VEYA, VE özdeşlikleri yardımı ile açıklayalım

Eğer ifadeyi A ortak parantezine alırsak aşağıdaki dönüşüm sağlanmış olur

Kural 5

Kural 6

Tablo 4

4’de girişlerin durumuna bağlı olarak
( A + B)

( A + C ) ile A + B

C
ifadelerinin durumları yazılmıştır

Bu iki ifadenin eşitliği tablodan görülebilir

Boolean Matematiği
  4

4 DEMORGAN TEOREMLERİ

07-11-2009	#1
Şengül Şirin	Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından gerçekleştirildi BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin çıkış ifadelerinin giriş değişkenle ri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ulaşması için kullanılır Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır DEĞİL,VE,VEYA,VEDEĞİL ve VEYADEĞİL kapılarının, BOOLEAN Matematiği ifadeleri BOOLEAN matematiğinde temel kuralların ve kanunların uygulanması BOOLEAN ifadelerinde DeMorgan teoreminin uygulanması BOOLEAN ifadelerinden sayısal devrenin çizilmesi,bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilmesi BOOLEAN ifadelerinin kanunlar ve kurallar yardımı ile sadeleştirilmesi BOOLEAN ifadelerinin doğruluk tablolarından elde edilmesi ve BOOLEAN açılmları ve standart ifadeler BOOLEAN açılımların birbirlerine dönüşümü Sayısal işlemler 41 BOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir Bu bölümde temel Boolean işlemleri ve bunların sayısal devrelerde nasıl kullanıldığı anlatılacaktır 411 BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLERİ Boolean matematiğinde kullanılan değişkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilmiştir Sayısal olarak bir değişken veya fonksiyon iki değer alabilir Bu değerler 1 veya 0 olacaktır Değişkenlerin veya fonksiyonların aldığı bu değerler sayısal devrelerde eğer “1” ise YÜKSEK gerilim seviyesi , “0” ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir A ve B girişlere uygulanan iki değişkeni gösterirse VE fonksiyonu Boolen ifadesi olarak ‘AB’ şeklinde yazılırken, VEYA fonksiyonu için ‘A+B’ şeklinde yazılacaktır 412 BOOLEAN TOPLAMA VE ÇARPMA Boolean toplamaya ilişkin temel kurallar aşağıda verilmiştir 42 BOOLEAN KANUNLARI Boolen matematiğinin üç temel kanunu: Yer değiştirme kanunu( Commutative Laws), Birleşme kanunu (Associative Laws) ve Dağılma Kanunu (Distributive Laws) adını alırlar YER DEĞİŞTİRME KANUNU( COMMUTATİVE LAWS) İki giriş değişkeni için Boolean toplamaya ait yer değiştirme kanunu aşağıdaki gibi yazılır BİRLEŞME KANUNU (ASSOCİATİVE LAWS) Boolean toplama işlemine ilişkin birleşme kanunu A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılır DAĞILMA KANUNU (DISTRIBUTIVE LAW) A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere dağılma kanunu aşağıdaki gibi yazılır 43 BOOLEAN MATEMATİĞİ KURALLARI Kural 1- VEYA özdeşlikleri a) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “0” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur b) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “1” ise , A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “1” olur c) Bir VEYA kapısının girişlerine değişkenin değili ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “1” olur d) Bir VEYA kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, =1 ise çıkış “1” olur Kural 2- VE özdeşlikleri a) Bir VE kapısının girişlerinden biri “0” ise, A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “0”olur b) Bir VE kapısının girişlerinden biri “1” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur c) Bir VE kapısının girişlerine değişkenin değili(tümleyeni) ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “0” olur d) Bir VE kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur Kural 3- Çift tersleme kuralı Bir Lojik ifadenin veya değişkenin iki defa değili alınırsa (terslenirse) lojik ifadenin veya değişkenin aslı elde edilir Kural 4- Yutma kuralı Bu kuralı dağılma kanunu ve VEYA, VE özdeşlikleri yardımı ile açıklayalım Eğer ifadeyi A ortak parantezine alırsak aşağıdaki dönüşüm sağlanmış olur Kural 5 Kural 6 Tablo 44’de girişlerin durumuna bağlı olarak ( A + B) ( A + C ) ile A + BC ifadelerinin durumları yazılmıştır Bu iki ifadenin eşitliği tablodan görülebilir <!-- icon and title --> Boolean Matematiği <!-- / icon and title --> <!-- message --> 44 DEMORGAN TEOREMLERİ __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır