Cevap : Cantor Köşegen Yöntemi

Gerçek sayılar kümesinin sayılamaz bir sonsuz küme olduğunu,bir başka deyişle sayal sayısının alef-sıfırdan büyük olduğunu köşegen yöntemiyle şöyle ispatlamak olanaklıdırRasyonel sayılar ile örneğin √2 gibi irrasyonel sayılardan oluşan gerçek sayılar,sonsuz sayıda basamağı olan ondalık kesirlerle gösterilebilirSayılar ekseninde O ile 1 arasında yer alan bütün noktaları ,O ile 1 arasındaki bütün sonsuz basamaklı ondalık kesirler temsil ederİki sütunlu bir tablo oluşturulduğunu düşünelimBirinci sütunda sırayla 1,2,3,4, pozitif tamsayıları vardırHer tamsayının karşısına,ikinci sütununa ,O ile 1 arasında olan ve sonsuz sayıda basamak içeren bir ondalık kesir (örn0,18317984) yazılmıştırTabloda sonsuz sayıda satır vardırBu durumda her gerçek sayının bir pozitif tamsayıya karşılık geldiği sanılabilirse de,durum böyle değildirÇünkü,tablonun ikinci sütunundaki sayılardan şu yöntemle elde edilebilecek yeni bir sayı tabloda yokturBirinci basamağı,tabloda birinci satırda bulunan kesrin birinci basamağından ikinci basamağı ikinci satırdaki kesrin ikinci basamağından ,,n'ci basamağın'inci satırdaki kesrin n'inci basamağından , farklı olan bir kesir oluşturulduğunda,bu yeni kesirin tablodaki kesirlerden hiçbirine eşit olamayacağı görülürDemek ki tablonun ikinci sütununa eklenecek başka gerçek sayılar vardırBuradan da ,0 ile 1 arasındaki gerçek sayıların,N= (1,2,3,) kümesindeki sayılardan daha çok olduğu anlaşılırÖyleyse ,gerçek sayılar kümesinin c ile gösterilen sayal sayısı alef-sıfırdan büyüktürEşleme yöntemiyle uzunluğu ne olursa olsun bir doğru parçası üzerindeki noktaların sayısının sonsuz bir doğru üzerindeki herhangi bir düzlem parçasındaki,herhangi bir hacimdeki ,boyutu ne olursa olsun tüm uzaydaki noktaların sayılarının birbirlerine (ve c sayısına) eşit olduğu kolaylıkla kanıtlanabilirBuna karşılık,örneğin ,gerçek değişkenli fonksiyonların sayısının ,c 'den daha büyük bir sonlu ötesi sayı olduğu gene köşegen yöntemiyle gösterilebilir

Alef-sıfırla c arasında başka bir sonluötesi sayı bulunup bulunmadığı ,matematikçilerin Cantor'dan bu yana sürekli ilgisini çeken bir problem olmuştur1938'de Avusturya asıllı ABD'li matematikçi Kurt Gödel böyle bir sayının bulunmadığı varsayımının ,1963'te ABD'de Stanford Üniversitesinden Paul JCohen böyle bir sayının bulunduğu varsayımının,aksiyomatik kümeler kuramıyla çelişmeyeceğini göstermişler ve bu çalışmalardan Cantorcu olmayan kümeler kuramı geliştirilmiştirAyrıca baksonluötesi sayılır




Kaynak;AnaBritannica cilt 7 sayfa 231 frmsinsinet için derlenmiştir

__________________