Cantor Köşegen Yöntemi

CANGOR KÖŞEGEN YÖNTEMİ


Cantor köşegen yöntemi,sonsuz kümelerin sayal sayılarının birbirinden farklı olabileceğini göstermekte kullanılan yöntemİlk olarak Alman Matematikçi Georg FLLP Cantor tarafından kullanılmıştır

İki kümenin öğeleri birbirleriyle bire-bir eşleştirilebiliyorsa,örneğin S ve T kümelerinin öğeleri,S den ve T den birer öğe alınarak sıralı çiftler oluşturulabiliyorve S nin her öğesi bu çiftlerin yalnızca bir tanesinde ikinci terim olarak bulunuyorsa,bu iki kümenin sayal sayıları (öğe sayıları) birbirine eşittirBu eşleme yöntemini sonsuz kümelerin karşılaştırılmasına sistematik biçimde ilk kez uygulayan matematikçi ,Cantor olmuşturEşleme yönteminin uygulanışını şu yalın örnekte kolayca görmek olanaklıdırAncak 20'ye kadar saymanın bilindiği ilkel bir kabilede ,çok sayıda koyunu olan iki kişiden hangisinin daha fazla koyuna sahip olduğunu anlamak için bunların koyunlarını ,sürülerinden birer koyun alarak bir yana ayırmak ve sonunda hangi sürünün daha önce biteceğini gözlemek yeterlidirBöyle bir eşleme uygulanarak,örneğin,pozitif tamsayılardan oluşan ( 1,2,3,4,) kümesi ile,pozitif tamsayıların karelerinden oluşan ( 1,4,9,16,) kümesinin sayal sayılarının birbirine eşit olduğu hemen görülebilirOysa ikinci küme birincinin bir alt kümesidirSonsuz kümelerin bu ilginç özelliğine,yani "parçanın "bütün"e eşit olabileceğine ilk kez dikkat çeken Galilei olmuştu(1638)Benzer biçimde örneğin pozitif tamsayılar kümesi ile pozitif çift sayılardan oluşan (2,4,6,8,)kümesinin ya da ( 0,1,-1,2,-2 ) kümesinin sayal sayılarının birbirine eşit olduğu gözlenebilirBu sonlu ötesi sayal sayıla Cantor alef-sıfır adını vermiş ve sayal sayısı alef-sıfır olan kümeleri sayılabilir sonsuz kümeler olarak adlandırılmıştırTamsayıların oranlarından oluşan rasyonel sayıların da sayılabilir olduğu bir başka deyişle rasyonel sayılar kümesinin sayal sayısının da alef-sıfıra eşit olduğu gösterilebilirBunun için,pozitif rasyonelleri ,m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere m/n biçiminde yazarak ve bunları m+n toplamına göre gruplayıp her gruptaki sayıları küçükten büyüğe doğru dizerek,

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1
--- --- --- --- --- -- - -- --- --- --- ---
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5

biçiminde sıralamak ve bu sayıları 1,2,3,4 pozitif tamsayıları ile eşleştirmek yeterlidir

Sayılamayan sonsuz kümelerin ,yani sayal sayısı alef-sıfırdan büyük olan kümelerin varlığını Cantor,günümüzde köşegen yöntemi adıyla bilinen yöntemi kullanarak göstermiştirCantor'un ispatladığı teoreme göre,bir S kümesinin P(S) olarak gösterilen güç kümesi,yani S kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan kümeS ye göre daha büyük bir sayal sayıya sahiptirN= (1,2,3,) pozitif tamsayılar kümesini göstermek üzere,P(N) kümesininkinden daha büyük olacağından,sonluötesi sayıların birden fazla (aslında sonsuz sayıda) olduğu anlaşılır


Kaynak;AnaBritannica cilt 7 sayfa 231 frmsinsinet için derlenmiştir

__________________