İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER
A. TANIM a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir. B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU 1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 biçiminde yazılabiliyorsa f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi; Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur. 2. Diskiriminant (D) Yöntemi ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir01.gif ax2 + bx + c = 0 denkleminde, D = b2 – 4ac olsun. a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökleri,http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir02.gif b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur. c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır. Bu kökler, http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir03.gif Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir. *** ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri simetrik ise, 1) b = 0 ve a eşit değil 0 dır. 2) Simetrik kökleri gerçel ise, b = 0, a eşit değil 0 ve a . c küçük eşit 0 dır. C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise, http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir04.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir05.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir06.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir07.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir08.gif D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem; (x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse, x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur. *** ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir09.gif yazılarak bulunur. *** ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise, http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir10.gif *** ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise, ax2 + bx + c = dx2 + ex + f (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır. Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER A. TANIM a eşit değil 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR a eşit değil 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre, http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir11.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir12.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir13.gif C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem (x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır. Bu denklem düzenlenirse, x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur. *** ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun. 1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa, x1 + x3 = 2x2 dir. 2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa, http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir14.gif 3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x1 = x2 = x3 tür. *** n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0 denkleminin; Kökleri toplamı : http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir15.gif Kökleri çarpımı : http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...in_kesir16.gif |
Powered by vBulletin®
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.