|
Cantor Köşegen Yöntemi
CANGOR KÖŞEGEN YÖNTEMİ
Cantor köşegen yöntemi,sonsuz kümelerin sayal sayılarının birbirinden farklı olabileceğini göstermekte kullanılan yöntem.İlk olarak Alman Matematikçi Georg F.LL.P Cantor tarafından kullanılmıştır. İki kümenin öğeleri birbirleriyle bire-bir eşleştirilebiliyorsa,örneğin S ve T kümelerinin öğeleri,S den ve T den birer öğe alınarak sıralı çiftler oluşturulabiliyor.ve S nin her öğesi bu çiftlerin yalnızca bir tanesinde ikinci terim olarak bulunuyorsa,bu iki kümenin sayal sayıları (öğe sayıları) birbirine eşittir.Bu eşleme yöntemini sonsuz kümelerin karşılaştırılmasına sistematik biçimde ilk kez uygulayan matematikçi ,Cantor olmuştur.Eşleme yönteminin uygulanışını şu yalın örnekte kolayca görmek olanaklıdır.Ancak 20'ye kadar saymanın bilindiği ilkel bir kabilede ,çok sayıda koyunu olan iki kişiden hangisinin daha fazla koyuna sahip olduğunu anlamak için bunların koyunlarını ,sürülerinden birer koyun alarak bir yana ayırmak ve sonunda hangi sürünün daha önce biteceğini gözlemek yeterlidir.Böyle bir eşleme uygulanarak,örneğin,pozitif tamsayılardan oluşan ( 1,2,3,4,.....) kümesi ile,pozitif tamsayıların karelerinden oluşan ( 1,4,9,16,....) kümesinin sayal sayılarının birbirine eşit olduğu hemen görülebilir.Oysa ikinci küme birincinin bir alt kümesidir.Sonsuz kümelerin bu ilginç özelliğine,yani "parçanın "bütün"e eşit olabileceğine ilk kez dikkat çeken Galilei olmuştu.(1638).Benzer biçimde örneğin pozitif tamsayılar kümesi ile pozitif çift sayılardan oluşan (2,4,6,8,....)kümesinin ya da ( 0,1,-1,2,-2 .....) kümesinin sayal sayılarının birbirine eşit olduğu gözlenebilir.Bu sonlu ötesi sayal sayıla Cantor alef-sıfır adını vermiş ve sayal sayısı alef-sıfır olan kümeleri sayılabilir sonsuz kümeler olarak adlandırılmıştır.Tamsayıların oranlarından oluşan rasyonel sayıların da sayılabilir olduğu bir başka deyişle rasyonel sayılar kümesinin sayal sayısının da alef-sıfıra eşit olduğu gösterilebilir.Bunun için,pozitif rasyonelleri ,m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere m/n biçiminde yazarak ve bunları m+n toplamına göre gruplayıp her gruptaki sayıları küçükten büyüğe doğru dizerek, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1 ....... --- --- --- --- --- -- - -- --- --- --- --- 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5 biçiminde sıralamak ve bu sayıları 1,2,3,4.... pozitif tamsayıları ile eşleştirmek yeterlidir. Sayılamayan sonsuz kümelerin ,yani sayal sayısı alef-sıfırdan büyük olan kümelerin varlığını Cantor,günümüzde köşegen yöntemi adıyla bilinen yöntemi kullanarak göstermiştir.Cantor'un ispatladığı teoreme göre,bir S kümesinin P(S) olarak gösterilen güç kümesi,yani S kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan küme.S ye göre daha büyük bir sayal sayıya sahiptir.N= (1,2,3,....) pozitif tamsayılar kümesini göstermek üzere,P(N) kümesininkinden daha büyük olacağından,sonluötesi sayıların birden fazla (aslında sonsuz sayıda) olduğu anlaşılır. Kaynak;AnaBritannica cilt 7 sayfa 231 frmsinsi.net için derlenmiştir. |
Cevap : Cantor Köşegen Yöntemi
Gerçek sayılar kümesinin sayılamaz bir sonsuz küme olduğunu,bir başka deyişle sayal sayısının alef-sıfırdan büyük olduğunu köşegen yöntemiyle şöyle ispatlamak olanaklıdır.Rasyonel sayılar ile örneğin √2 gibi irrasyonel sayılardan oluşan gerçek sayılar,sonsuz sayıda basamağı olan ondalık kesirlerle gösterilebilir.Sayılar ekseninde O ile 1 arasında yer alan bütün noktaları ,O ile 1 arasındaki bütün sonsuz basamaklı ondalık kesirler temsil eder.İki sütunlu bir tablo oluşturulduğunu düşünelim.Birinci sütunda sırayla 1,2,3,4,.... pozitif tamsayıları vardır.Her tamsayının karşısına,ikinci sütununa ,O ile 1 arasında olan ve sonsuz sayıda basamak içeren bir ondalık kesir (örn.0,18317984....) yazılmıştır.Tabloda sonsuz sayıda satır vardır.Bu durumda her gerçek sayının bir pozitif tamsayıya karşılık geldiği sanılabilirse de,durum böyle değildir.Çünkü,tablonun ikinci sütunundaki sayılardan şu yöntemle elde edilebilecek yeni bir sayı tabloda yoktur.Birinci basamağı,tabloda birinci satırda bulunan kesrin birinci basamağından ikinci basamağı ikinci satırdaki kesrin ikinci basamağından ,.....,n'ci basamağın'inci satırdaki kesrin n'inci basamağından ,.... farklı olan bir kesir oluşturulduğunda,bu yeni kesirin tablodaki kesirlerden hiçbirine eşit olamayacağı görülür.Demek ki tablonun ikinci sütununa eklenecek başka gerçek sayılar vardır.Buradan da ,0 ile 1 arasındaki gerçek sayıların,N= (1,2,3,...) kümesindeki sayılardan daha çok olduğu anlaşılır.Öyleyse ,gerçek sayılar kümesinin c ile gösterilen sayal sayısı alef-sıfırdan büyüktür.Eşleme yöntemiyle uzunluğu ne olursa olsun bir doğru parçası üzerindeki noktaların sayısının sonsuz bir doğru üzerindeki herhangi bir düzlem parçasındaki,herhangi bir hacimdeki ,boyutu ne olursa olsun tüm uzaydaki noktaların sayılarının birbirlerine (ve c sayısına) eşit olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir.Buna karşılık,örneğin ,gerçek değişkenli fonksiyonların sayısının ,c 'den daha büyük bir sonlu ötesi sayı olduğu gene köşegen yöntemiyle gösterilebilir.
Alef-sıfırla c arasında başka bir sonluötesi sayı bulunup bulunmadığı ,matematikçilerin Cantor'dan bu yana sürekli ilgisini çeken bir problem olmuştur.1938'de Avusturya asıllı ABD'li matematikçi Kurt Gödel böyle bir sayının bulunmadığı varsayımının ,1963'te ABD'de Stanford Üniversitesinden Paul J.Cohen böyle bir sayının bulunduğu varsayımının,aksiyomatik kümeler kuramıyla çelişmeyeceğini göstermişler ve bu çalışmalardan Cantorcu olmayan kümeler kuramı geliştirilmiştir.Ayrıca bak.sonluötesi sayılır. Kaynak;AnaBritannica cilt 7 sayfa 231 frmsinsi.net için derlenmiştir. |
Powered by vBulletin®
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.