Sayılar Kuramı, Tamsayıları ve Bunlara Ilişkin Kavramları Konu Alan Matematik Dalı.
 

SAYILAR KURAMI

Sayılar kuramı,tamsayıları ve bunlara ilişkin kavramları konu alan matematik dalı.

Sayılar kuramı eski uygarlıklarda nümeroloji ile yakından ilişkiliydi.Örneğin Kitabı Mukaddes'te dünyanın altı günde yaratıldığından belirtilmesi ve 6 sayısının en küçkük yetkinsayı olması çok önemli bir rastlaşım olarakkabul edilmekteydi.( yetkin sayı,kendisi dışındaki tamsayı çarpanlarının toplamına eşit olan sayıdır.örn.6= 1x2x3= 1+2+3).Rönesans boyunca astronominin astrolojiden,kimyanın simyadan ayrılmasına benzer bir süreç içinde,sayılar kuramının da nümeroloji ile ilişkisi ortadan kalktı.

Modern sayılar kuramına ilişkin problemlerin çözümünde matematiğin hemen her dalına ilişkin bilgilerden yararlanılır.bununla birlikte,sayılar kuramı,amatör matematikçilerin ve öğrencilerin ilgi duydukları konuların başında gelir.Bu olgu sayılar kuramında pek çok problemin kolay anlaşılabilir ve yalın bir biçimde ortaya konabilmesiyle açıklanabilir.Sayılar kuramında güzel bir problemin ortaya konması pek zor değildir.ama problemin çözümüne sıra gelince iş değişir."Bir yüzyılı aşkın süredir çözülememiş ve ilginçliğini koruyan bir matematik problemi varsa,bu problem sayılar kuramına ilişkindir".görüşü büyük ölçüde doğrudur.

Sayılar kuramının en ünlü problemlerinden biri.adını Fransız matematikçi Pierre de Fermat'dan (1601-65) alır.Fermat,http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379672099 biçimindeki Diophantos denklemini çözmeye çalışıyordu.(Diophantos denklemi,yalnızca tamsayı çözümleri aranan bir cebirsel denklemdir).Bu denklemin

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379672099

ile y pozitif tamsayılar olmak üzere hiçbir çözümü bulunamamıştır.Diophantos denklemleri adını İskenderiyeli Diophantos'tan (İS y.250) alır.Fermat Diophantos'un Arithmetika adlı kitabının kendindeki kopyasında sayfa kenarlarına notlar ve kimi teoremlerin kanıtlarını yazmıştı.Bunlar arasında http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379672099denkleminin http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379672805 için pozitif tamsayılı hiçbir çözümü olamayacağının son derece güzel bir kanıtını bulduğunu ama bu kanıtın safyanın kenar boşluğuna sığmayacak kadar uzun olduğunu belirten bir nota rastlandı.O dönemden günümüze değin geçen 300 yılı aşkın süre içinde hiçbir matematikçi bu kanıtı ortaya koymayı başaramadı.Günümüzde bu problem Fermat'nın büyük teoremi olarak adlandırılır.

Fermat'ın büyük teoremini kanıtlamaya yönelik çabalar,sayılar kuramının bir başka dalının,cebirsel sayılar kuramının gelişmesine büyük katkıda bulundu.Cebirsel sayılar,katsayıları tamsayı olan çokterimli denklemlerinin kökü olan sayılardır.Cebirsel sayılar bütün rasyonel sayıları ve bazıhttp://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379672099

sayısı da cebirseldir.bu sayı da http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379673035 denkleminin köküdür.Cebirsel sayıların Fermat'ın büyük teoremi ile ilişkisi söyle
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379673035

yazılabileceğinden aynı sayının cebirsel sayıların çarpımı biçimindeki bu iki ifadesinin karşılaştırılması yoluyal Fermat teoreminin kanıtına yönelik bilgiler elde edilmesi umulabilir.Gerçekten de n'nin birçok değeri içinb u yaklaşım sonuç vermiştir.ama bu yolla teoremin genel kanıtına ulaşmak olanaklı olmamıştır.1977'ye değin Fermat teoremi n'nin 125.000 'e kadarki bütün değerleri için doğrulanmış durumdaydı.

Cebirsel olmayan sayılar aşkın (transandantal) sayı olarak adlandırılır.Alman matematikçi Georg Cantor ,1874'te hemen hemen bütün sayıların bir anlamda aşkın sayı olarak kabul edilmesi gerektiğini göstermiştir.Verilen birsayının aşkın olup olmadığını belirlemek matematiğin en zor problemleri arasında yer alır.Doğal logaritma tabanı olan e sayısının aşkınsayı olduğu Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından 1873'te kanıtlandı.http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1379673035 sayısının aşkın olduğunu ise Ferdinand von Lindemann 1882'de belirledi.Lindamann,böylece ,Eski Yunanlılardan bu yana çözülememiş bir problemin yani alanı verilen bir dairenin alanına eşit bir karenin yalnızca cetvel ve pergel kullanılarak çizilmesi probleminin çözülmesinin olanaksız olduğunu kanıtlamış oluyordu.

Sayılar kuramına giren problemlerin büyük bölümü asal sayılara ilişkindir.Asal sayılar,kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan 1'den büyük ve asal olmayan sayılar bileşik sayı olarak adlandırılır.Her bileşik sayı,asal sayıların çarpımı biçiminde iade edilebilir.ve bu ifade tektir (örn.1176= 2x2x2x3x7x7).Aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılan bu teoremi ilk kez Carl Friedrich Gauss,Disquisitiones Arithmeticae (1801;Aritmetik Tartışmaları) adlı yapıtında ortaya koydu.

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 217 frmsinsi.net için derlenmiştir.

Cevap : Sayılar Kuramı, Tamsayıları ve Bunlara Ilişkin Kavramları Konu Alan Matematik Dalı.
 

Asal sayıların sayısının sonsuz olduğuna ilişkin çok güzel birkanıtı Eukleides geliştirmiştir.Bu kanıt şöyle özetlenebilir.Asal sayıların sayısınının sonlu olduğunu varsayalım.ve bütün asal sayıların çarpımını N ile gösterelim.Şimdi,N+1 sayısını göz önüne alalım.Asal sayıların her biri N'yi tam olarak böleceğinden N+1 sayısı bir asal sayıla bölündüğünde kalan olarak 1 verecektir.Buradan N+1 sayısının hem asal olmadığı ,hem de asal sayıların çarpımına eşit olmadığı sonucu çıkar.bu ise olanaksızdır.Öyle ise asal sayıların sayısı sonlu olamaz; sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Bir asal sayılar çizelgesi dikkatle incelenirse,asal sayıların büyüdükçe giderek seyrekleştikleri gözlenir.Örneğin 100'den küçük 25 asal sayı vardır.ama 1.000 ile 1.100 arasında 16 tane,10.000 ile 10.100 arasında 11 tane,100.000 ile 100.100 arasında ise 6 tane asal sayı bulunur.Bu seyrekleşme tümüyle düzenli de değildir,örneğin 9.500 ile 9.600 arasında yalnızca 7 tane asal sayı vardır ama 99.800 ile 99.900 arasında 10 tane asal sayı bulunur.Asal sayıların dağılımı ve bu dağılımındaki düzen ve düzensizliklerin incelenmesi sayılar kuramının en önemli konuları arasındadır.

Ünlü "ikiz asallar" sanıtı (kanıtlanmış olmamasına karşın doğru olduğu sanılan teorem),aralarındaki fark 2 olan sonsuz sayıda asal sayı çiftinin var olduğunu ifade eder.(örn.11 ile 13,17 ile 19).Bu sanıtın kanıtlanmasına yönelik çabalar ancak kısmen başarılı olabilmiştir.Chen Jing-run,kendisinin 2 büyüğü ( p+2) asal sayı ya da iki asal sayısının çarpımı olan sonsuz sayıda asal sayı (p) olduğunu kanıtlamayı başarmıştır.(1966).

Sayılar kuramının dalalrı arasında belirli genel niteliklere sahip tamsayı kümelerine ilişkin problemleri ele alan kombinatuvar sayılar kuramı ,hesaplama problemlerinin çözümü ve aritmetik işlemler için etkin algoritmalar bulunmasını konu edinen hesaplamalı sayılar kuramı ve olasılık kuramı kavramlarının sayılar kuramına uygulamalarını içerin olasılıklar sayılar kuramı da yer alır.

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 217 frmsinsi.net için derlenmiştir.